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Vektoren, lineare Abbildung

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Finanzmathematik

Adela aktiv_icon

12:33 Uhr, 10.12.2018

Hallo,

bei dieser Aufgabenstellung bin ich mir nicht sicher wie ich des machen soll.
Meine Idee wäre jetzt die 3 Vektoren

v 1, v 2, v 3

mit der Einheitsmatrix zu berechnen, sodass ich die Inverse davon raus bekomme.
Danach würde ich das inverse jeweils mit den einzelnen Vektoren berechnen und schauen ob es funktioniert

\to (A^{- 1} \cdot v 1 = w 1) . .

.
Würde das stimmen oder liege ich falsch?

Aufgabenstellung: siehe Bild

Dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

DerDepp aktiv_icon

12:40 Uhr, 11.12.2018

Hossa :-)

Eine lineare Abbildung

A

von Vektoren des

ℝ^{3}

auf Vektoren des

ℝ^{2}

kann durch eine reelle

2 \times 3

-Matrix beschrieben werden.

A = (\begin{array}{c} a & b & c \\ d & e & f \end{array}); \vec{w} = A \cdot \vec{v}

Du sollst nun aus den gegebenen Vektoren

\vec{v}

und

\vec{w}

die Werte der Variablen

a

bis

f

bestimmen und zeigen, dass diese eindeutig bestimmt sind. Weil

{\vec{v}}_{3}

am meisten Nullen enthält, fange ich damit an:

{\vec{w}}_{3} = A \cdot {\vec{v}}_{3} \Leftrightarrow (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} a & b & c \\ d & e & f \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \cdot a + 0 \cdot b + 1 \cdot c \\ 0 \cdot d + 0 \cdot e + 1 \cdot f \end{array}) = (\begin{array}{c} c \\ f \end{array}) \Leftrightarrow c = 1; f = 0

Damit sind

c

und

f

schon mal eindeutig festgelegt. Weiter gehts mit

{\vec{v}}_{2}

{\vec{w}}_{2} = A \cdot {\vec{v}}_{2} \Leftrightarrow (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} a & b & 1 \\ d & e & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \cdot a + 1 \cdot b + 2 \cdot 1 \\ 0 \cdot d + 1 \cdot e + 2 \cdot 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} b + 2 \\ e \end{array}) \Leftrightarrow b = - 1; e = 1

Also sind auch

b

und

e

eindeutig bestimmt. Weiter gehts mit

{\vec{v}}_{1}

{\vec{w}}_{1} = A \cdot {\vec{v}}_{1} \Leftrightarrow (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} a & - 1 & 1 \\ d & 1 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \cdot a + 2 \cdot (- 1) + 3 \cdot 1 \\ 1 \cdot d + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} a + 1 \\ d + 2 \end{array}) \Leftrightarrow a = 0; d = 0

Damit sind auch

a

und

d

eindeutig und wir können die Abbildungsmatrix

A

angeben:

A = (\begin{array}{c} 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}); \vec{w} = A \cdot \vec{v}

Eine Funktion ist surjektiv, wenn man jedes Element der Bildmenge mindestens 1-mal erhält. Wir müssen also zeigen, dass es zu jedem Bild

\vec{y} = A \cdot \vec{x}

ein passendes Argument

\vec{x}

gibt.

(\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}) = \vec{y} = A \cdot \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} - x_{2} + x_{3} \\ x_{2} \end{array}) \Rightarrow x_{2} = y_{2}; x_{3} = y_{1} + y_{2}; x_{1} \in ℝ

Die Funktion ist also surjektiv. Wir können sogar ablesen, dass jedes Bild

\vec{y}

unendlich oft erreicht wird, weil die

x_{1}

-Komponenten frei wählbar ist. Das heißt aber, dass die Funktion nicht injektiv ist (denn dann dürfte jedes Bild höchstens 1-mal erreicht werden). Damit ist die Funktion auch nicht bijektiv (denn dann müsste jedes Bild genau 1-mal erreicht werden, also injektiv und surjektiv zugleich sein).

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