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Vektoren, lineare Abbildung

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Finanzmathematik

Tags: Finanzmathematik

 
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Adela

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12:33 Uhr, 10.12.2018

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Hallo,

bei dieser Aufgabenstellung bin ich mir nicht sicher wie ich des machen soll.
Meine Idee wäre jetzt die 3 Vektoren v1,v2,v3 mit der Einheitsmatrix zu berechnen, sodass ich die Inverse davon raus bekomme.
Danach würde ich das inverse jeweils mit den einzelnen Vektoren berechnen und schauen ob es funktioniert (A-1v1=w1)...
Würde das stimmen oder liege ich falsch?

Aufgabenstellung: siehe Bild

Dank im Voraus.



Bildschirmfoto 2018-12-10 um 12.25.11

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DerDepp

DerDepp aktiv_icon

12:40 Uhr, 11.12.2018

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Hossa :-)

Eine lineare Abbildung A von Vektoren des 3 auf Vektoren des 2 kann durch eine reelle 2×3-Matrix beschrieben werden.

A=(abcdef);w=Av

Du sollst nun aus den gegebenen Vektoren v und w die Werte der Variablen a bis f bestimmen und zeigen, dass diese eindeutig bestimmt sind. Weil v3 am meisten Nullen enthält, fange ich damit an:

w3=Av3(10)=(abcdef)(001)=(0a+0b+1c0d+0e+1f)=(cf)c=1;f=0

Damit sind c und f schon mal eindeutig festgelegt. Weiter gehts mit v2:

w2=Av2(11)=(ab1de0)(012)=(0a+1b+210d+1e+20)=(b+2e)b=-1;e=1

Also sind auch b und e eindeutig bestimmt. Weiter gehts mit v1:

w1=Av1(12)=(a-11d10)(123)=(1a+2(-1)+311d+21+30)=(a+1d+2)a=0;d=0

Damit sind auch a und d eindeutig und wir können die Abbildungsmatrix A angeben:

A=(0-11010);w=Av

Eine Funktion ist surjektiv, wenn man jedes Element der Bildmenge mindestens 1-mal erhält. Wir müssen also zeigen, dass es zu jedem Bild y=Ax ein passendes Argument x gibt.

(y1y2)=y=Ax=(0-11010)(x1x2x3)=(-x2+x3x2)x2=y2;x3=y1+y2;x1

Die Funktion ist also surjektiv. Wir können sogar ablesen, dass jedes Bild y unendlich oft erreicht wird, weil die x1-Komponenten frei wählbar ist. Das heißt aber, dass die Funktion nicht injektiv ist (denn dann dürfte jedes Bild höchstens 1-mal erreicht werden). Damit ist die Funktion auch nicht bijektiv (denn dann müsste jedes Bild genau 1-mal erreicht werden, also injektiv und surjektiv zugleich sein).
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