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Vektoren lineare unabhängigkeit überprüfen

Schüler

Tags: Vektor

 
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Schok

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20:20 Uhr, 06.07.2018

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Guten Tag,

Überprüfen Sie folgende Vektoren auf lineare Unabhängigkeit!
V1=(1,1,1),V2=(3,4,5),V3=(1,2,3)

Mit Gauß komme ich auf dieses Ergebnis:
1200
0110

Ein Vektor fällt weg! Denn V2 kann man mit V3 und V1 repräsentieren. Das sieht man ja durch genaues hinsehen =) oder auch nicht :-P) doch was sagt mir nun das Ergebnis vom Gauß?
Wenn man nun einen abhängigen Vektor mit den anderen repräsentieren soll komme ich mit diesem Ergebnis ja nicht weit oder?

V1:1xV2:2xV3:0x ??? Was soll da raus kommen? V2 ist doch eh der Vektor der mit den andern Beiden dargestellt werden kann.
Kann mir das jemand erklären? Oder kann ich mit Gauß nur herausfinden ob sie eben linear Unabhängig sind oder nicht? also Ja oder Nein.

Dann habe ich noch eine Frage kann mir vielleicht jemand etwas verständlicher erklären wie ich nun daraus die Dimension berechne und die Basis?

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
ledum

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22:11 Uhr, 06.07.2018

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Hallo
du hast doch schon die richtige Antwort: die 3 Vektoren sind linear avhängig, je 2 davon linear unabhängig, mehr kann man dazu nicht sagen, du hättest auch ohne Gauss sagen können, man sieht direkt v1+v3=v2, da das nicht immer so leicht zu sehen ist nimmt man eben Gauss, die Zahl der Zeilen die nicht komplett sind geben die Zahl der linear unabh. Vektoren.
du kannst natürlich nicht nur v2 durch die 2 anderen koombinieren sondern jeden der 3 durch die 2 anderen
dein v1+v3=v2 sagt ja auch v1=v2-v3 und v3=v2-v1
dass dir Gauss dabei nicht hilft ist richtig.
Gruß ledum
Schok

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12:04 Uhr, 07.07.2018

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Vielen Dank.
Klar sieht man nun bei dieser Aufgabe das es so ist doch bei so einer eben nicht mehr:

v1=(2,3,-4,2)
v2=(1,-6,13,-14)
v3=(1,3,-5,4)

Dort bekomme ich mit dem Gauß raus:
130
0-51

Jetzt habe ich nachgelesen das der Rang der Matrix entspricht der Anzahl der Zeilen der Zeilenstufenform, die keine Nullzeilen sind, also nicht vollständig aus 0 bestehen.
Die 3 Vektoren wurden von mir in Zeilenstufenform gebraucht denn oben das kam ja raus. Somit hat die Matrix den Rang 2.

Heißt das nun da ich 3 Vektoren habe die Matrix aber nur den Rang 2 hat das 2 Vektoren linear Unabhängig und einer dieser Vektoren linear abhängig ist?

Stimmt das den nun? Oder hab ich wieder ein Denkfehler???

Wie bilde ich nun die Basis? oder ist die Basis dann 2 da ich 2 Linear Unabhängige Vektoren habe? Und was ist dann die Dimension der Vektoren V=<v1,v2,v3> ???

Würde mich freuen wenn mir da nochmal jemand Helfen würde :-)

Danke erstmals für die schnelle Antwort.

LG
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ledum

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19:55 Uhr, 07.07.2018

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Hallo,
ja, wenn nicht ein Vektor einfach Vielfaches eines der 2 anderen ist, sind je 2 Vektoren lin unabhängig, die 3 Vektoren liegen also in einem 2d Unterraum.
( den Gauss kannst du benutzen um die Basis zu vereinfachen, aber er kommt mir eigenartig vor, da er nur 3 statt 4 Spalten hat?)
also kannst du als Basis, des Raumes, den sie aufspannen irgend 2 von ihnen nehmen, es sei denn du wirst nach ner Basis mit bestimmten Eigenschaften gefragt. Aber deine Frage nach Basis kommt unerwartet, was genau ist gefragt?
Gruß ledum
Schok

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19:24 Uhr, 08.07.2018

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Entschuldigung das ich jetzt erst dazu komme.

Fragestellung lautet:
Untersuchen Sie die Vektoren
v1=(2,3,-4,2)
v2=(1,-6,13,-14)
v3=(1,3,-5,4)
ob diese Linear unabhängig sind.
Benutzen Sie dabei die Methode von Gauß-Jordan.
Welche Dimension hat V=<v1,v2,v3> als Untervektorraum von R4
Geben Sie eine Basis von V an.

_

wenn ich den Gauß-Jordan benutze steht habe ich 2 Zeilen mit 0en.
Das würde doch bedeuten das der Rang der Matrix A=2 am ende ist.
Nun dachte ich mir wenn der Rang(2) ist und ich 3 Vektoren habe muss einer linear abhängig sein? <- stimmt das denn?

_

Danke nochmals für die nette Hilfe =)

LG
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

17:50 Uhr, 09.07.2018

Antworten
Hallo
eigentlich hatte ich das schon beantwortet, die 3 Vektoren sind lin. abhängig, je 2 davon lin unabhängig, das heisst der unterraum ist 2 dimensional.
Gruß ledum
Schok

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11:25 Uhr, 10.07.2018

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Okay Dimesnion =2.
Stimmt denn meine Argumentation oben mit dem Rang der Matrix und da es 3 Vektoren sind etc? oder ist das falsch?

Und wie gebe ich nun eine Basis zu diesen Vektoren an? Man könnte ja einfach die e1,e2,e3 als Basis nehmen oder ist damit was anderes gemeint?

Danke nochmals =)
LG
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

13:42 Uhr, 11.07.2018

Antworten
Da dein UR 2d ist besteht deine Basis aus 2 li unabh. Vektoren in U, welche 2 kannst du aussuchen.
Gruß ledum
Frage beantwortet
Schok

Schok aktiv_icon

20:50 Uhr, 11.07.2018

Antworten
Leider verstehe ich nicht was du mir damit sagen möchtest.
Werde das Thema mal wieder nacharbeiten hätte da eh noch mehr Fragen!!!

Danke erstmal!