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Vektoren zerlegen

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: parallel, senkrecht, Vektorraum

anonymous

14:25 Uhr, 10.04.2015

Gegeben sind die Vektoren

x = (\begin{matrix} - 6 \\ 0 \\ 12 \end{matrix})

und

a = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})

Zerlegen Sie

x

in eine Summe

x = y + z

so, dass

y

parallel und

z

senkrecht zu a ist.

Grüße

A \cap e

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

DrBoogie aktiv_icon

14:40 Uhr, 10.04.2015

y

parallel zu

a

ist, gilt

y = λ a

λ

- eine Zahl.
Es bleibt jetzt nur

λ

zo zu wählen, dass

z = x - y

senkrecht zu

a

ist,
also Skalarprodukt

< x - y, a >

gleich

0

. Es kommt

λ = < x, a > / < a, a >

raus.

Bummerang

14:44 Uhr, 10.04.2015

Hallo,

betrachte die Ursprungsgerade mit dem Richtungsvektor a und bestimme den Pznkt auf der Geraden, dessen Abstand zu

x

minimal ist. Der Vektor vom Ursprung zu dem gefundenen Punkt ist parallel zu

a,

der Vektor vom gefundenen Punkt zu

x

ist orthogonal auf

a

. Zur Kontrolle:

x = (\begin{matrix} 2 \\ - 4 \\ 4 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 8 \\ 4 \\ 8 \end{matrix})

ledum aktiv_icon

15:11 Uhr, 10.04.2015

Hallo
die Komponente von

x

parallel a ist

\frac{< x, a >}{| a |}

diese Komponente von

x

abgezogen ergibt den dazu senkrechten Vektor.
das ist die übliche Methode der Zerlegung. <x,a>=Skalarprodukt.
im post von de Broglie ist ein kleiner Fehler, er hat statt

| a | {| a |}^{2}

gruß ledum

DrBoogie aktiv_icon

15:18 Uhr, 10.04.2015

In meinem Post gibt's keinen Fehler.

Mit

λ = \frac{< x, a >}{< a, a >}

und

y = λ a

gilt

< x - y, a > = < x - λ a, a > = < x, a > - λ < a, a > = < x, a > - \frac{< x, a >}{< a, a >} < a, a > = 0

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