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Vektorfeld - Funktion - Divergenz, Rotation

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Tags: divergenz, Funktion, Rotation, Vektorfeld, Vektorraum

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17:37 Uhr, 05.04.2015

Frohe Ostern!
Diese Woche beginnt das neue Semester und das erste Übungsblatt ist bereits online. Ich wollte schonmal etwas vorarbeiten und mich mit dem Thema auseinandersetzen.
Folgende Aufgaben:

1. Definiere

B : ℝ^{2} \ {0} \to ℝ^{2}, (x, y) \mapsto \frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\begin{matrix} - y \\ x \end{matrix})

.
Berechnen Sie div(B) und rot(B).
2. Finden Sie eine Funktion

A : ℝ^{2} \ {0} \to ℝ

mit

\nabla^{⊥} A (x, y) = B (x, y)

.
3. Finden Sie alle partiell differenzierbaren Funktionen

A : ℝ^{2} \ {0} \to ℝ

mit

\nabla^{⊥} A (x, y) = B (x, y)

.

Wir steigen diese Woche komplett neu in dieses Thema ein, deswegen habe ich keinerlei Vorwissen aus dem vorherigen Semester.
Zu 1:
Bin mir etwas unsicher, aber ich leite zunächst

F 2

nach

x

ab, also 1. Ergibt sich also insgesamt

2 \cdot \frac{1}{x^{2} + y^{2}}

? Oder leite ich dieses auch ab?

Würde mich sehr über Hilfe freuen, danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Roman-22

19:05 Uhr, 05.04.2015

> Bin mir etwas unsicher, aber ich leite zunächst F2 nach x
Um was zu erhalten? Und was ist F2??

> Ergibt sich also insgesamt 2⋅1x2+y2?
Möglicherweise möchtest du die Divergenz von B berechnen, ohne das du das hinschreibst? Vielleicht hast du da auch was richtig gemacht und nur nicht berücksichtigt, dass in der Angabe ein Minus in der x-Komponente des Vektors vor dem y steht.

Die Divergenz von B ist jedenfalls Null.

R

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20:51 Uhr, 05.04.2015

Oh ganz vergessen, wollte zunächst mit der Rotation beginnen, wo das Minus dann doppelt vorkommt.
Habe dies aus einer Definition mit

F 1

und

F 2

übernommen, also

- y = F 1

und

x = F 2

.
Könntest du mir bitte einmal deinen Rechenweg dafür zeigen?

Roman-22

20:58 Uhr, 05.04.2015

Für die Divergenz leitest du einfach die x-Komponente von B partiell nach x ab, dann die y-Komponente nach y und addierst beides. Da die beiden Ableitungen bis auf das Vorzeichen ident sind, ist das Ergebnis Null.

Gruß R

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21:01 Uhr, 05.04.2015

Und mein Ergebnis zur Rotation war korrekt?

Roman-22

22:13 Uhr, 05.04.2015

> Und mein Ergebnis zur Rotation war korrekt?
Da hab ich noch keines gesehen. Wo soll das gestanden haben?

Die Rotation müsste jedenfalls ein Vektorfeld sein. In deinem Fall eines, bei dem die x- und y-Komponenten Null sind.

R

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13:32 Uhr, 06.04.2015

Also div(B)

= 0

.
rot(B)=

\frac{\partial}{\partial x} \frac{x}{x^{2} + y^{2}} - \frac{\partial}{\partial y} \frac{- y}{x^{2} + y^{2}} = {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} - {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \cdot 2 x + {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} - {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \cdot 2 y

.
Ist es bis dahin korrekt?

Roman-22

14:02 Uhr, 06.04.2015

Der Rechenweg ist richtig, aber deine Ableitungen sind falsch. Da fehlt beim zweiten Summanden noch ein

x

und beim vierten ein

y

. Außerdem sollte man den ersten und dritten Summanden zusammenfassen.
Die Rotation ist aber nach meinem Verständnis ein Vektorfeld, kein Skalarfeld.
Was du da berechnest ist also nur die z-Komponente dieser Vektoren (die allesamt auf die xy-Abene normal stehen).

x -

und y-Komponente sind Null.

Gruß

R

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14:13 Uhr, 06.04.2015

Da ich noch keine Vorlesung zu dem Thema hatte, war mir das mit Vektor- und Skalarfeld noch unklar, aber ich konnte deine Erklärung verstehen und zudem sind mir das eine

x

und das

y

tatsächlich verloren gegangen.
Also insgesamt als z-Komponente:

\frac{2}{x^{2} + y^{2}} + \frac{4 x^{2} y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

Roman-22

14:25 Uhr, 06.04.2015

>

Also insgesamt als z-Komponente:

> 2 x 2 + y 2 + 4 x 2 y 2 (x 2 + y 2) 2

?
Falsch! Jetzt hast du den zweiten und vierten Summanden einfach miteinander multipliziert. Es ist aber eine Summe! Die musst du also so stehen lassen. Das Ergebnis ist also eine Summe aus drei Summanden (zwei davon sind negativ).

Gruß

R

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14:36 Uhr, 06.04.2015

Mist! Also:

\frac{2}{X^{2} + y^{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - \frac{2 y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}},

richtig?

Zu 2:
Ist

A (x, y) = \frac{ln (x^{2} + y^{2})}{2}

eine mögliche Funktion?

\nabla^{⊥} f (x, y) := (\begin{matrix} \frac{- \partial f}{\partial y} (x, y) \\ \frac{\partial f}{\partial x} (x, y) \end{matrix})

Roman-22

18:25 Uhr, 06.04.2015

> Mist! Also:
> 2X2+y2-2x2(x2+y2)2-2y2(x2+y2)2, richtig?
Ja! Was lange währt, wird endlich gut. :-)

Zu 2) Ja, das ist eine mögliche Funktion und alle anderen unterscheiden sich von ihr nur durch eine additive Konstante.

Es muss ja gelten

A (x, y) = - \int \frac{- y}{x^{2} + y^{2}} d y = \frac{1}{2} \cdot l n ∣ x^{2} + y^{2} ∣ + C_{1} (x)

und auch

A (x, y) = \int \frac{x}{x^{2} + y^{2}} d x = \frac{1}{2} \cdot l n ∣ x^{2} + y^{2} ∣ + C_{2} (y)

x

und

y

sind nach Voraussetzung reell und nicht beide Null, daher gibts keine Probleme mit dem Logarithmus und auch die Beträge durfen weggelassen werden (eine Summe von Quadraten ist im Reellen nie negativ).
Aus

C_{1} (x) = C_{2} (y)

folgt, dass es sich hier nur um eine Konstante, aber keinesfalls eine Funktion in x oder y handeln kann. Die einfachste Variante ist natürlich, für diese Konstante Null zu wählen.

Damit ist jetzt natürlich 3) auch schon in einem Aufwasch erledigt ;-)

Gruß R

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19:49 Uhr, 06.04.2015

Perfekt, vielen Dank!

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