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Vektorfeld in Kugelkoordinaten darstellen

Universität / Fachhochschule

Tags: Kugelkoordinaten, Rotation, Vektorfeld

mac-user09 aktiv_icon

17:33 Uhr, 18.02.2013

Hallo,

ich habe ein Vektorfeld und will dieses in Kugelkoordinaten darstellen und danach die Formel für die Rotation für dieses Vektorfeld aus dem Bronstein verwenden.

\vec{A} = (- y x, z x, x y)

Ist es damit getan, einfach die Transformationsformeln Kartesisch <---> Kugelkoordinaten einzusetzten und fertig?
Wie ist das mit der Rotation. Im Bronstein steht eine Formel, jedoch ist die mit den Einheitsvektoren der Kugelkoordinaten versehen. Muss ich dann erst auch noch die Einheitsvektoren umschreiben?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

lepton

22:27 Uhr, 19.02.2013

1. Ja, Koordinatentransformation durchführen
2. die

(\vec{e_{r}}, . . .)

sind die Basisvektoren der Kugelkoordinaten in den jeweiligen Komponenten

(r, θ, φ)

. Schaue dir mal am besten die Determinantendarstellung der Rotation an, dann dürfte es klar werden.

mac-user09 aktiv_icon

08:38 Uhr, 20.02.2013

Hi,

naja, für x, y und z habe ich die Formeln, wie

x = r * c o s (φ) * s i n (θ)

etc.

Wenn ich die einsetzte bleiben mir aber die Kartesischen Einehitsvektoren

\vec{e_{x}}, \vec{e_{y}}, \vec{e_{z}}

erhalten.

Im Bronstein habe ich auch Formeln, wie die Einheitsvektoren

\vec{e_{x}}, \vec{e_{y}}, \vec{e_{z}}

in Kugelkoordinaten zu transformieren sind.

Muss ich das machen? Ist ja ziemlich aufwendig. Nur für die Rotation?

lepton

01:29 Uhr, 22.02.2013

Wenn du die Rotation eines Vektorfeldes explizit in Kugelkoordinaten angeben sollst, dann solltest du natürlich auch die Basisvektoren deines alten Systems in das neue transformieren. Bedenke auch, dass auch der Differentialoperator selbst in den Kugelkoordinaten transformiert werden muss. Das erfolgt übers totale Differential eines Gradientenfeldes. Jedes Koordinatensystem hat sein eigener Nabla.

Kochrezept:
-Um dein Vektorfeld

\vec{A}

in den neuen Kugelkoordinaten transformieren zu können, brauchst du eine Transformationsmatrix

C

\Rightarrow (A_{r}, . . .)^{T} = C^{T} \cdot (A_{x}, . . .)^{T} = C^{T} (A_{x}, . . .)^{T}

C

erhälts du über die Transformation deiner neuen Basisvektoren

(\vec{e_{r}}, . . .)

, indem du diese nahc den jeweiligen Komponenten

(r, θ, φ)

differenzierst und danach normierst. Diese bilden nämlich eine ONS, da sie paarweise orthogonal auf der Kugeloberfläche zueinander sind und die Länge 1 haben. Die Spaltenvektoren von

C^{T} = (\vec{e_{r}}, . . .)^{T}

sind die neuen Basisvektoren. Somit hast du dein

\vec{A}

vollständig in Kugelko. transformiert. Anschlißend noch den Nabla transformieren und

r o t \vec{A}

bilden.
Wenn du

r o t A

bildest, würde ich eher den total antisymmetr.

ε

-Tensor vorschlagen, weil das einem erheblich die Rechenarbeit erspart. Nur mal als Tip am Rande.

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