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Vektorgeometrie, minimaler Abstand

Universität / Fachhochschule

14:45 Uhr, 15.03.2024

Hallo zusammen

Ich soll in der angehängten Aufgabe2a

Λ

so berechnen damit der Abstand des Schattenpunktes minimal zum Ursprung ist.
Nach meinen Berechnungen müsste das für

Λ = 8

sein. Die richtige Lösung soll angeblich

Λ = 4

sein.
Meinen Lösungsweg findet ihr als Bild angehängt.

Habt ihr eine Idee was ich falsch überlege?

Vielen Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

17:12 Uhr, 15.03.2024

a)

Zunächst parametrisieren wir den Strahl von

l (λ)

durch

S

(zum Parameter

q) :

l (λ) + q (S - l (λ)) = (\begin{matrix} - 10 \\ 28 \\ 51 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) + q ((\begin{matrix} 4 \\ 10 \\ 34 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 10 \\ 28 \\ 51 \end{matrix}) - λ (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}))

= (\begin{matrix} - 10 \\ 28 \\ 51 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) + q ((\begin{matrix} 14 \\ - 18 \\ - 17 \end{matrix}) - λ (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}))

.

Wenn dieser die

x y -

Ebene trifft, ergibt sich für dessen

z -

Koordinate

0 = 51 - 17 q \Leftrightarrow q = \frac{51}{17} = 3

.

Damit kann man nun die Funktion

S_{x y} : R \to R^{3}, λ \mapsto (\begin{matrix} - 10 \\ 28 \\ 51 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) + 3 ((\begin{matrix} 14 \\ - 18 \\ - 17 \end{matrix}) - λ (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})) = (\begin{matrix} 32 \\ - 26 \\ 0 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} - 6 \\ 8 \\ 0 \end{matrix})

angeben.

Es gilt

S_{x y} (0) = (\begin{matrix} 32 \\ - 26 \\ 0 \end{matrix})

und für den gesuchten Minimalabstand findet man per Kurvendiskussion

mit

d : R \to R, λ \mapsto {| S_{x y} (λ) |}^{2}

dann

0 = d' (λ) = ({(32 - 6 λ)}^{2} + {(- 26 + 8 λ)}^{2})'

= - 12 (32 - 6 λ) + 16 (- 26 + 8 λ)

= - 384 + 72 λ - 416 + 128 λ

= - 800 + 200 λ

\Leftrightarrow λ = \frac{800}{200} = 4

.

Anbei:

d (λ) \to \infty (λ \to \pm \infty)

und

d'' (λ) = (- 800 + 200 λ)' = 200 > 0

für alle

λ \in R

zeigen, dass

λ = 4

tatsächlich die globale Minimalstelle von

\sqrt{d}

ist

(was auch sonst bei einer Abstandsfunktion).

Der minimale Abstand von

S_{x y}

zum Nullpunkt ist

\sqrt{d (4)} = 10

16:39 Uhr, 17.03.2024

Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Sehr gut nachvollziehbar.

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