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Vektorgleichungen

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Tags: Sonstiges

Adlerlich aktiv_icon

18:38 Uhr, 18.05.2011

Hi,

ich find bei der folgenden Aufgabe überhaupt keinen Ansatz:

Geben Sie den Lösungsvektor

\vec{x}

der beiden folgenden Vektorgleichungen an, wobei

\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}

und

\vec{d}

beliebige Vektoren
sind, und geben Sie falls notwendig Bedingungen an die Vektoren

\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}

und

\vec{d}

an, um die Existenz der Lösung zu
gewährleisten. Benutzen Sie dabei nicht die Komponentendarstellung!

\vec{x} + \vec{a} = (\vec{x} \cdot \vec{c}) \cdot \vec{b}

Ich wäre für jeden Ansatz dankbar.

lg

Adellich

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

20:44 Uhr, 18.05.2011

Hallo,

ich multipliziere zuerst die Gleichung

\vec{x} + \vec{a} = (\vec{x} \cdot \vec{c}) \cdot \vec{b}

skalar mit

\vec{c} :

\vec{x} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{c} = (\vec{x} \cdot \vec{c}) \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c}) \Rightarrow

\vec{a} \cdot \vec{c} = (\vec{x} \cdot \vec{c}) \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c}) - \vec{x} \cdot \vec{c} = (\vec{x} \cdot \vec{c}) \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c} - 1)

Vorausgesetzt, es ist

\vec{b} \cdot \vec{c} - 1 \neq 0

bzw.

\vec{b} \cdot \vec{c} \neq 1,

kann ich durch

\vec{b} \cdot \vec{c} - 1

dividieren:

\frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{\vec{b} \cdot \vec{c} - 1} = \vec{x} \cdot \vec{c}

Mit dieser Gleichung kann ich

\vec{x} \cdot \vec{c}

in der Ausgangsgleichung ersetzen:

\vec{x} + \vec{a} = (\vec{x} \cdot \vec{c}) \cdot \vec{b} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{\vec{b} \cdot \vec{c} - 1} \cdot \vec{b} \Rightarrow \vec{x} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{\vec{b} \cdot \vec{c} - 1} \cdot \vec{b} - \vec{a}

Viele Grüße
Yokozuna

Adlerlich aktiv_icon

21:02 Uhr, 19.05.2011

Super, vielen Dank.

Ich hab dazu noch ein zweiten Aufgabenteil.

\vec{a} x (\vec{x} x \vec{b}) + (\vec{x} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{d}

bei der ersten hast du ja nur

\vec{c}

dazu multipliziert und danach halt umgestellt.

kann ich dies jetzt bei den Kreuzprodukten genauso machen oder muss ich auf etwas besonderes dann achten?

Vielen Dank

Yokozuna aktiv_icon

22:06 Uhr, 19.05.2011

Hallo,

dieses doppelte Kreuzprodukt kann man durch Skalarprodukte ausdrücken. Es gilt:

\vec{a} \times (\vec{x} \times \vec{b}) = \vec{x} \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) - \vec{b} \cdot (\vec{a} \cdot \vec{x})

Damit lautet die Gleichung dann:
I.

\vec{x} \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) - \vec{b} \cdot (\vec{a} \cdot \vec{x}) + (\vec{x} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{d}

Jetzt haben wir wieder eine ähnliche Situation wie bei der ersten Aufgabe. Nur müssen wir diesmal Ersatzausdrücke für

\vec{x} \cdot \vec{a}

und

\vec{x} \cdot \vec{b}

finden. Dazu multiplizieren wir die Gleichung I. zuerst mit

\vec{a}

und erhalten:

(\vec{a} \cdot \vec{x}) \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot (\vec{a} \cdot \vec{x}) + (\vec{x} \cdot \vec{b}) \cdot (\vec{a} \cdot \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{d}

Die ersten beiden Terme heben sich gegenseitig auf und es bleibt:

(\vec{x} \cdot \vec{b}) \cdot (\vec{a} \cdot \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{d}

Wir setzen jetzt voraus, daß

\vec{a} \cdot \vec{c} \neq 0

ist, dann können wir dividieren:

\vec{x} \cdot \vec{b} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{d}}{\vec{a} \cdot \vec{c}}

\vec{x} \cdot \vec{a}

können wir ermitteln, indem man Gleichung I. mit

\vec{b}

multipliziert, nach

\vec{x} \cdot \vec{a}

auflöst und

\vec{x} \cdot \vec{b}

durch den zuvor gewonnenen Ausdruck ersetzt. Nun können wir in Gleichung I.

\vec{x} \cdot \vec{a}

und

\vec{x} \cdot \vec{b}

ersetzen und Gleichung I. ganz normal nach

\vec{x}

auflösen.
Aber ich denke, das schaffst Du jetzt alleine (falls nicht, dann einfach nochmal melden).

Viele Grüße
Yokozuna

Adlerlich aktiv_icon

13:32 Uhr, 20.05.2011

Ja danke, hat super geklappt.

Vielen Vielen Dank

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