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Vektorkomponenten berechen

Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe

Tags: Vektor

baadshah aktiv_icon

20:13 Uhr, 11.08.2011

die aufgabe:

berechen sie die vektorkomponenten des vektors $\vec{b}$ parallel und senkrecht zu $\vec{a}$ , wenn

$\vec{a} = (\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix}) u n d \vec{b} = (\begin{matrix} \begin{matrix} - 7 \\ 6 \end{matrix} \\ - 1 \end{matrix})$

was muss ich hier denn machen, lagebeziehungen??

lösung ist

${\vec{a}}_{∥} = \frac{1}{43} (\begin{matrix} \begin{matrix} - 7 \\ 6 \end{matrix} \\ - 1 \end{matrix}) u n d {\vec{a}}_{⊥} = \frac{1}{43} (\begin{matrix} \begin{matrix} 136 \\ 166 \end{matrix} \\ 42 \end{matrix})$

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Shipwater aktiv_icon

20:44 Uhr, 11.08.2011

Ich hab mal ein Bild dazu angefertigt. Den Vektor

\vec{b}

sollst du also so in zwei Komponenten zerlegen, dass eine davon parallel zu

\vec{a}

und die andere senkrecht zu

\vec{a}

ist. Kommst du nun auf einen rechnerischen Ansatz?

baadshah aktiv_icon

20:55 Uhr, 11.08.2011

danke für deine antwort,

also soll ich $\vec{b}$ so anpassen, dass b parallel ist (vielfaches) und orthogonal ist

mit skalar produkt?

Shipwater aktiv_icon

23:05 Uhr, 11.08.2011

Kann sein, dass du das richtige meinst. Hast du dich bei der Aufgabe/Lösung sicher nicht verschrieben? Denn es müsste ja

\vec{a_{| |}} + \vec{a_{⊥}} = \vec{b}

sein, wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe.

baadshah aktiv_icon

09:36 Uhr, 12.08.2011

die lösung ist richtig,

wie fange ich da überhaupt an

prodomo aktiv_icon

09:44 Uhr, 12.08.2011

Das Bild ist doch ein deutlicher Hinweis. Versuche es mal mit den Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck !

Shipwater aktiv_icon

10:27 Uhr, 12.08.2011

Du hast dann die Frage falsch gestellt! Es soll

\vec{a}

so in zwei Komponenten zerlegt werden, dass eine davon parallel zu

\vec{b}

und die andere senkrecht zu

\vec{b}

ist.

\vec{a_{| |}} + \vec{a_{⊥}} = \vec{a}

soll also gelten.
Vielleicht bringt dich dieser Ansatz weiter:

(\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) = λ_{1} \cdot (\begin{matrix} - 7 \\ 6 \\ - 1 \end{matrix}) + λ_{2} \cdot (\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix})

mit

(\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 7 \\ 6 \\ - 1 \end{matrix}) = 0

und

z . B

n_{2} := 4

setzen.
@ prodomo: Wie stellst du dir das vor mit den Winkelfunktionen?

funke_61 aktiv_icon

10:42 Uhr, 12.08.2011

kann es sein, dass da doch noch ein kleiner Fehler in der Lösung enthalten ist:
Für die Bedingung

\vec{a_{| |}} + \vec{a_{⊥}} = \vec{a}

sollte doch gelten

\frac{1}{43} (\begin{matrix} - 7 \\ 6 \\ - 1 \end{matrix}) + \frac{1}{43} (\begin{matrix} 136 \\ 166 \\ 44 \end{matrix}) = \frac{1}{43} (\begin{matrix} - 7 + 136 \\ 6 + 166 \\ - 1 + 44 \end{matrix}) = \frac{1}{43} (\begin{matrix} 129 \\ 172 \\ 43 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})

also

z

-Komponenete von

\vec{a_{⊥}} = 44

und nicht

42

oder?

Shipwater aktiv_icon

10:52 Uhr, 12.08.2011

Mit meinem Ansatz komme ich auf

\vec{a_{| |}} = \frac{1}{43} \cdot (\begin{matrix} - 7 \\ 6 \\ - 1 \end{matrix})

und

\vec{a_{⊥}} = \frac{1}{43} \cdot (\begin{matrix} 136 \\ 166 \\ 44 \end{matrix})

also hast du Recht

f u n k e_{61}

funke_61 aktiv_icon

11:47 Uhr, 12.08.2011

@shipwater
Wäre dein Gleichungssystem nicht "netter" und einfacher zu lösen, wenn man

λ_{2}

gleich in den Komponenten von

\vec{n}

"verstecken" würde:

(\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) = λ (\begin{matrix} - 7 \\ 6 \\ - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix})

mit

(\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 7 \\ 6 \\ - 1 \end{matrix}) = 0

denn die Bedingung dass das Skalarprodukt aus

\vec{n} \cdot \vec{b} = 0

sein soll gilt ja auch für einen um

λ_{2}

"verlängerten" Normalenvektor

λ_{2} \vec{n} \cdot \vec{b} = 0,

oder?

prodomo aktiv_icon

11:48 Uhr, 12.08.2011

Man kann doch die Komponenten als Projektionen behandeln ! Winkel zwischen a und

b

bestimmen

Shipwater aktiv_icon

11:53 Uhr, 12.08.2011

@funke_61: Kommt doch auf das selbe raus. In beiden Fällen vier Gleichungen und vier Unbekannte. Leicht zu lösen sind beide, aber deines hat den Vorteil dass keine Unbekannten multiplikativ verknüpft sind. Wenn du das unbedingt haben willst, dann bitte. ;-)

funke_61 aktiv_icon

12:04 Uhr, 12.08.2011

gut, mir reicht es schon zu erfahren, dass ich keinen Denkfehler mache.
Daneben würde ich mich natürlich sehr freuen, wenn meine Beiträge baadshah ein wenig helfen würden.

Shipwater aktiv_icon

12:09 Uhr, 12.08.2011

@ prodomo: Magst du deinen Ansatz vorstellen? Ich weiß nämlich noch immer nicht auf was du hinaus willst (vielleicht kenne ich das ja auch noch gar nicht).

prodomo aktiv_icon

17:13 Uhr, 12.08.2011

@ shipwater:

cos γ

mit Skalarprodukt , dann Vektor a parallel = vektor

b

durch Betrag

b

mal Betrag a parallel
Betrag a parallel = Betrag a mal

cos γ

ergibt auch

\frac{1}{43} \cdot

Vektor

b

prodomo aktiv_icon

17:15 Uhr, 12.08.2011

@shipwater: Vorbild war Zerlegung von Kräften oder Bewegungen gegen eine Richtung

Shipwater aktiv_icon

18:04 Uhr, 12.08.2011

Also zuerst den Winkel

φ

zwischen den beiden Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

bestimmen (oder einfach nur

cos (φ))

und dann gilt

| \vec{a_{| |}} | = | \vec{a} | \cdot cos (φ)

. Und somit kann man dann auch

\vec{a_{| |}} = \vec{b} \cdot \frac{| \vec{a_{| |}} |}{| \vec{b} |}

bestimmen. Zuletzt ergibt sich noch

\vec{a_{⊥}} = \vec{a} - \vec{a_{| |}}

Hab ich deinen Weg richtig erfasst? Nicht schlecht! Erinnert mich an unsere Herleitung von

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos (φ)

prodomo aktiv_icon

18:36 Uhr, 12.08.2011

Ja. in klasse

11

wird oft von der Komponentendarstellung auf die Polarform umgerechnet. Es mag natürlich sein, dass diese Voraussetzung beim Fragesteller nicht gegeben war. Insoweit mögen sich die Stoffpläne unterscheiden.

Shipwater aktiv_icon

19:28 Uhr, 12.08.2011

Jetzt wurden ja genug Wege vorgeschlagen. Einen davon wird der Threaderöffner bestimmt verstehen.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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