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Vektorpotenzial zu Vektorfeld finden

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Sonstiges

Tags: Sonstiges

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13:02 Uhr, 23.07.2015

Ich brauche Hilfe zur Aufgabe

2 b

(siehe Anhang)

Also man hat Vektorfeld

V;

dazu soll man das Vektorpotenzial

W

bestimmen

natürlich ist rot(W)=

V

mit

W 3, y

ist gemeint : dass die dritte Komponente vom

W

Vektor nach

d z

abgeleitet wird.

Jetzt steht da (2.Bild ; Musterlösung)

⊙ E

. W_index3

= 0

für alle

x

,yz

Da ist meine Frage woher weiß man das?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

funke_61 aktiv_icon

14:34 Uhr, 23.07.2015

Hallo,
rot

(W) = V

Schreib diese Vektror-Gleichung doch mal so an, dass der Nabla-Operator "

\nabla

" und noch ein "anderes Symbol"
statt der "Rotation" da steht.

dieses andere Symbol ist der Schlüssel zum im zweiten Bild gezeigten Ansatz für die Lösung
;-)

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15:26 Uhr, 23.07.2015

Das bringt mir nix.

EDIT: natürlich nicht

(d x, d y, d z)

als bektor sondern die elemente des nabla operators

Da mir

V

bekannt ist aber

W

nicht.

also Vektor

(d x, d y, d z) x

(kreuzprodukt)

(W 1, W 2, W 3) = (V 1, V 2, V 3)

Was soll mir das bringen.

Das bringt wohl evtl was, wenn man

W

wüsste und

V

gesucht wäre.

Siehe Bild vom jetzigen Post:

Du meinst wohl das hier...

funke_61 aktiv_icon

15:47 Uhr, 23.07.2015

Genau. Aus dem "Vektorprodukt" zwischen

\nabla

und Vektorfeld

W

erklären sich die drei Zeilen

W_{3, y} - W_{2, z} = x^{2} y - z

W_{1, z} - W_{3, x} = x z^{2} + x^{2} z^{3}

W_{2, x} - W_{1, y} = - 2 x y z

Und die vierte Zeile:
"ohne Einschränkung gilt"

W_{3} = 0

"für alle"

x, y, z

könnte doch evtl. aus Aufgabenteil a stammen . . .
(denn sonst weiss ich nicht wo diese Bedingung herkommen soll) . . .

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15:51 Uhr, 23.07.2015

Aufgabenteil

a :

Ob das Vektorfeld

V

solenoidal ist. Ja das ist es.

Aber daraus folgt doch nicht ohne Einshcränkung, dass

W 3 = 0

für alle

x

,yz ist.

das hilft mir so nicht weiter

funke_61 aktiv_icon

15:54 Uhr, 23.07.2015

Bitte zeig doch mal, wie Du Aufabenteil

a)

bearbeitet hast, da ich mit diesem Ausdruck "solenoidal" nichts anfangen kann.
bzw. gibt es da noch mehr Angaben zu dieser Aufgabe?

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15:57 Uhr, 23.07.2015

Bekommst du von der Musterlösung als Bild

also eig. nur div(V)=0 für alle

(x, y, z)

Vektoren

Ich bezweifel, dass dir das weiterhelfen wird. Aber wer weiß :-D)
Man lernt nie aus

funke_61 aktiv_icon

16:07 Uhr, 23.07.2015

gut, da ich so was schon sehr lange nicht mehr gemacht habe, weiss ich nicht, wo die vierte Zeile des Lösungsansatzes für das Vektropotential

W

herkommt.
Aber wie die ersten drei Zeilen des Lösungsansatzes für das Vektropotential

W

entstehen weisst Du ja jetzt. Oder?

Roman-22

16:08 Uhr, 23.07.2015

Das Vektorpotential ist ja nicht eindeutig bestimmt und du sollst laut Aufgabenstellung nur eines angeben, also hast du zumindest einen Freiheitsgrad.

Wenn das Feld

\vec{V}

quellenfrei (solenoidal) ist, dann gibt es doch ganz weit hinten in meiner Erinnerung den Satz, dass sich alle Potentiale nur um ein Gradientenfeld unterscheiden, oder? Oder ist das immer so? Hmm, denke nein.

Also, wenn

S

eine beliebige Skalarfunktion ist, so gilt rot

\vec{W} =

rot

(\vec{W}

+grad

S),

weil rot grad

S = 0

ist.

Also kann man zB ansetzen

\vec{W} = (\begin{matrix} W_{1} \\ W_{2} \\ 0 \end{matrix}),

wobei

W_{1}

und

W_{2}

Skalarfunktionen von

x, y

und

z

sind.

Du solltest das aber sicherheitshalber noch mit deinen Unterlagen gegenchecken, denn ich würde mich in der Thematik nicht unbedingt als firm einstufen - ist halt schon recht lange her.

Gruß

R

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16:08 Uhr, 23.07.2015

Das wusste ich vorher auch

\land

Es ging die ganze Zeit um dieses

w 3 = 0

für alle

. .

.

Ich habe 0 Ahnung was das soll.

Und nach googelbar ist es auch nicht.

Nervig sowas

Roman-22

16:19 Uhr, 23.07.2015

>

Oder ist das immer so? Hmm, denke nein.
Ach Unfug! Wenns nicht quellfrei ist, dann gibts ja gar kein Vektorpotential.
In dem Sinne ist es immer (wenns existert) so.

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16:57 Uhr, 23.07.2015

Ja, ein Mikomilliton hat nun Licht ins Dunkle gebracht.

Es ist kein mathematischer Satz, aber es soll was mit Freiheitsgraden zu tun haben.

Ich soll ja nur ein Vektorpotenzial finden. Und da kann ich

w 3

einfach 0 setzen

Mir reicht das dann wohl so, wenn es zum Rechnen nichts zu vertsehen gibt.

Ist das ok so

Danke

Roman-22

17:11 Uhr, 23.07.2015

>

Ja, ein Mikomilliton hat nun Licht ins Dunkle gebracht.
Du meinst ein "Kommilitone". Das versuchte "Mit" am Anfang wäre doppelt gemoppelt. Das Wort bedeutet schon Mitstudent, Studiengenosse oder Studienkollege und man darf durchaus auch diese deutschen Begriffe verwenden ;-)

>

Es ist kein mathematischer Satz,
Doch!

>

aber es soll was mit Freiheitsgraden zu tun haben.
Das hatte ich ja geschrieben.

>

Ich soll ja nur ein Vektorpotenzial finden. Und da kann ich

w 3

einfach 0 setzen
Ja, aber nur weil man einen Freiheitsgrad hat, darf man nicht alles auf irgend etwas setzen, so wie man gerade Lust hat.
Das will schon überlegt und durchdacht sein.

Du meintest, dein Problem sei nicht "googlebar". Um Gotteswillen was ist denn mit Skripten, Fachliteratur, Fachbibliotheken? Glaubt denn wirklich jemand ernsthaft, man könne im Internet alles finden? Noch dazu verlässlich und seriös?

Trotzdem, um deine Behauptung zu widerlegen ein Link, immerhin gehts um ein Druckwerk:
books.google.com/books?id=m9TpBQAAQBAJ&pg=PA25

>

Mir reicht das dann wohl so, wenn es zum Rechnen nichts zu vertsehen gibt.

>

Ist das ok so
Wenn das eine Frage sein sollte, so wäre mein Antwort - Nein!

Gruß

R

funke_61 aktiv_icon

12:30 Uhr, 24.07.2015

@ Roman-22
Dankeschön für deine Hinweise. Jetzt habe ich auch wieder verstanden, worum es hier eigentlich geht und "woher" diese "Bedingung"

o

E . : W_{3} = 0 \forall x, y, z

kommt.

Die anschließende Integration, Differentiation und die Bestimmung der zwei "Integrationskonstanten"

C_{2}

und

C_{1}

sollte mit der aus Integration und Differentiation folgenden Beziehung

\frac{\partial C_{2} (x, y)}{\partial x} - \frac{\partial C_{1} (x, y)}{\partial y} = 0

wohl möglich sein . . .
;-)

funke_61 aktiv_icon

14:41 Uhr, 24.07.2015

Da ja nur eine mögliche Lösung für

W_{1}

und

W_{2}

gesucht ist
(die Komponente

W_{3}

"verschwindet" lt. Ansatz),
könnte man doch auch mit

C_{2} = 0

und

C_{1} = 0

weitermachen, den diese beiden Konstanten erfüllen die sich aus der Berechnung folgende Bestimmungsgleichung für

C_{2} (x, y)

und

C_{1} (x, y)

.

Damit wäre

W_{1} = \frac{x z^{3}}{3} + \frac{x^{2} z^{4}}{4}

und

W_{2} = \frac{z^{2}}{2} - x^{2} y z

Ist dies die hier gesuchte Lösung für die Komponenten

W_{1}

und

W_{2}

?
Oder bin ich damit total auf dem Holzweg . . .

Roman-22

16:16 Uhr, 24.07.2015

Ich denke du darfst nur eine von beiden

C_{1}

ODER

C_{2}, \equiv 0

setzen.
Siehe dazu das Schema in dem Buch, zu dem ich vorhin schon verlinkt habe.
books.google.com/books?id=m9TpBQAAQBAJ&pg=PA25
Die Funktionen heißen dort a und

b

R

funke_61 aktiv_icon

15:38 Uhr, 27.07.2015

@ Roman-22 oder jemand anders, der sich in Sachen Vektrorpotentiale auskennt:
Es gelten doch lt. obigem Ansatz

i) W_{3, y} - W_{2, z} = x^{2} y - z

i i) W_{1, z} - W_{3, x} = x z^{2} + x^{2} z^{3}

i i i) W_{2, x} - W_{1, y} = - 2 x y z

und wie oben bereits ausgiebig diskutiert:

W_{3} = 0 \forall x, y, z

Wenn ich jetzt

W_{3} = 0

in zuerst in Gleichung

i i)

und dann in Gleichung

i)

einsetze, erhalte ich

a) W_{1, z} - 0 = x z^{2} + x^{2} z^{3}

b) 0 - W_{2, z} = x^{2} y - z

(die Ableitung von "0" in jede Raumrichtung

x, y,

oder

z

ist "0")

a) W_{1, z}

nach

z

integrieren :

W_{1, z} = x z^{2} + x^{2} z^{3}

W_{1} = \int x z^{2} + x^{2} z^{3} d z = \frac{z x^{3}}{2} - \frac{x^{2} z^{4}}{4} + a (x, y)

b) W_{2, z}

nach

z

integrieren :

W_{2, z} = - x^{2} y + z = z - x^{2} y

W_{2} = \int z - x^{2} y d z = \frac{z^{2}}{2} - x^{2} y z + b (x, y)

"Vorarbeit" um in Gleichung

i i i)

einsetzen zu können:

a) W_{1}

nach

y

ableiten:

W_{1, y} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{z x^{3}}{2} - \frac{x^{2} z^{4}}{4} + a (x, y))

W_{1, y} = 0 - 0 + \frac{\partial}{\partial y} a (x, y)

b) W_{2}

nach

x

ableiten:

W_{2, x} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{z^{2}}{2} - x^{2} y z + b (x, y))

W_{2, x} = 0 - 2 x y z + \frac{\partial}{\partial x} b (x, y)

i i i)

einsetzen:

c) W_{2, x} - W_{1, y} = - 2 x y z + \frac{\partial}{\partial x} b (x, y) - \frac{\partial}{\partial y} a (x, y)

Da laut Ansatz

i i i) W_{2, x} - W_{1, y} = - 2 x y z = V_{3}

bleibt zur Bestimmung der "Integrationskonstanten"

a (x, y)

und

b (x, y)

die Gleichung

d) \frac{\partial}{\partial x} b (x, y) - \frac{\partial}{\partial y} a (x, y) = 0

Setzt man hier nun eine der beiden Integrationskonstanten,
zB.

a (x, y) = 0

so bleibt (siehe oben)

d) \frac{\partial}{\partial x} b (x, y) = 0

Daraus folgt

b (x, y) = b =

const
Dies fehlte in meinerm letzten Post.
Also wäre eine mögliche Lösung für das gesuchte Vektorpotential

\vec{W} = (\begin{matrix} W_{1} \\ W_{2} \\ W_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{z x^{3}}{2} - \frac{x^{2} z^{4}}{4} \\ \frac{z^{2}}{2} - x^{2} y z + b \\ 0 \end{matrix})

Die Probe durch entsprechendes partielles Ableiten erfüllt den Ansatz
und die Probe stimmt auch mit

b = 0,

also für

\vec{W} (b = 0)

.
Ist dieser Weg nun korrekt oder nicht?
Oder: was ist falsch an diesem Weg?
;-)

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