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Vektorprodukt

Schüler

Tags: Etwas zeigen

Christian- aktiv_icon

01:35 Uhr, 30.05.2016

Moin Leute,

Für

x, y \in ℝ^{3}

ist das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt oder äußeres Produkt genannt)
definiert durch:

x \times y := (\begin{matrix} x_{2} \cdot y_{3} - x_{3} \cdot y_{2} \\ x_{3} \cdot y_{1} - x_{1} \cdot y_{3} \\ x_{1} \cdot y_{2} - x_{2} \cdot y_{1} \end{matrix})

(a) =

Zeigen Sie:Für

x, y \in ℝ^{3}

gilt:

(1)

x \times y ⊥ x

(2)

x \times y ⊥ y

(3)

x \times y = - y \times x

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Ich weiß, wie man ein Kreuzprodukt berechnet. Ich verstehe trotzdem nicht, wie diese Aufgabe gemeint ist.
Fangen wir bei

(1)

an.

Das heißt ja,

x

Kreuzmultipliziert mit

y

und

y

steht orthogonal zu

x

bzw. umgekehrt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Edddi aktiv_icon

06:12 Uhr, 30.05.2016

Bei den ersten beiden Aufgabenteilen sollst du zeigen, dass der Vektor, welcher aus dem Kreuzprodukt von

x

und

y

gebildet wird, sowohl senkrecht auf

x

als auch senkrecht auf

y

steht.

Z . B

. ginge dies einfach, wenn ihr die Gültigkeit des Skalarproduktes voraussetzen dürft. Denn stehen 2 Vektoren senkr. zueinander, dann ist das Skalarprodukt

. .

.

Für den 3. Teil würde ich einfach direkt durch einsetzen der Variablen zeigen.

:-)

Christian- aktiv_icon

07:25 Uhr, 30.05.2016

Guten morgen Eddi,

danke für deine Hilfe.

,,Bei den ersten beiden Aufgabenteilen sollst du zeigen, dass der Vektor, welcher aus dem Kreuzprodukt von

x

und

y

gebildet wird, sowohl senkrecht auf

x

als auch senkrecht auf

y

steht.''

Genau, das habe ich verstanden. Um zu beweisen, dass ich es verstanden habe, beachte bitte mein Bildmaterial.

- - - - - - - - - - - -

,,...

Z . B

. ginge dies einfach, wenn ihr die Gültigkeit des Skalarproduktes voraussetzen dürft. ''

Ja, soll ich das jetzt mathematisch zeigen , oder zeichnerisch? Das Wort ,,zeigen'' verstehe ich einfach nicht in Bezug auf das.

- - - - - - - - - - -

Respon

07:46 Uhr, 30.05.2016

Die Definiton des Kreuzproduktes besteht aus "Eigenschaften", aus denen sich die diversen Berechnungsmodaltäten ableiten lassen.

\vec{c} = \vec{a} x \vec{b}

\vec{c}

hat folgende Eigenschaften:

\vec{c}

steht normal sowohl auf

\vec{a}

und

\vec{b}

Die drei Vektoren bilden ein "Rechtssystem"

| \vec{c} |

ist der Flächeninhalt des Parallelogramms, das die Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

aufspannen
Aus diesen Eigenschaften läßt sich sofort ableiten:

| \vec{c} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot sin (φ)

φ

ist der von den Grundvektoren eingeschlossene Winkel
UND
die ganz oben angegebene Rechnemodalität für die Berechnung von

\vec{c}

in kartesischen Koordinaten.
Worauf sich der Kreis wieder schließt.

Christian- aktiv_icon

08:38 Uhr, 30.05.2016

Hei Respon,
danke für die Informationen.

Wie zeige ich das nun am Beispiel

(1)

?

Zeigen bedeutet doch beweisen oder?

Respon

08:46 Uhr, 30.05.2016

Eigentlich beißt sich hier die Katze in den Schwanz. Die ganz oben angeführte Rechenmodalität hat sich ja aus den Eigenschaften des Kreuzproduktes ergeben.
Wenn du aber "L’art pour l’art" betreiben willst.

z . B

.
Die Darstellung deines Vektores

\vec{a} x \vec{b}

muss skalar multipliziert mit

\vec{a}

respektive

\vec{b}

den Wert 0 ergeben, was sich ja schnell zeigen lässt. Ebenso die anderen Eigenschaften.
Allerdings sollte man bei der Komponentendarstellung vorher die Bedeutung der Bezeichnungen

(x_{,} x_{2}, . .

. ) eindeutig festlegen.

Respon

09:02 Uhr, 30.05.2016

3)

Obwohl aus mathematischer Sicht nicht unbedingt erforderlich ( "Punkt vor Strich"

),

sollte mann es genauer so schreiben:

\vec{a} x \vec{b} = - (\vec{b} x \vec{a})

Damit sieht man deutlicher die "Antikommutativität", die beiden Vektoren sind zwar dem Betrage gleich, aber entgegengesetzt gerichtet.
Vor allem bei der physikalischen Interpretation des Kreuzproduktes ist das ein sehr wichtiges Kriterium.

Femat aktiv_icon

09:04 Uhr, 30.05.2016

Schau ich hab mal das Kreuzprodukt und dann das Skalarprodukt gebildet.
überflüssigerweise hab ich die Vektoren noch in

a, b, c

umgetauft.
Farbig siehst du, was bei der Addition im Skalarprodukt sich dann aufhebt.

Christian- aktiv_icon

09:42 Uhr, 30.05.2016

Hei Respon und Femat,

- - - -

Zeigen bedeutet doch beweisen?

- - - -

- - - - - - - - -

Respon:
,,Eigentlich beißt sich hier die Katze in den Schwanz. Die ganz oben angeführte Rechenmodalität hat sich ja aus den Eigenschaften des Kreuzproduktes ergeben.

Das sich durch die Rechenmodalität die Eigenschaft des Kreuzprodkutes ergeben, ist mir klar. Was meinst du mit dem, dass sich die Katze in den Schwanz beißt?

- - - - - - - - -

- - -

,,Wenn du aber "L’art pour l’art" betreiben willst.''

Was meinst du damit?;-)

- - -

Ich weiß schon, dass das Skalarprodukt 0 ergeben muss, damit eine Orthogonalität herrscht.Das schriebe ich in mein Bildmaterial.

- - -

Danke für die Darstellung Femat.
Diese ganzen Informationen helfen mir nicht, die Aufgabe

(1)

zu lösen.
Wie fange ich denn jetzt an, das zu zeigen?
Oder, wie würdet ihr die

(1)

machen, sodass diese

100 %

vollständig richtig ist.

Respon

09:46 Uhr, 30.05.2016

z . B

(

in deiner Notation )

(\begin{matrix} x_{2} \cdot y_{3} - x_{3} \cdot y_{2} \\ x_{3} \cdot y_{1} - x_{1} \cdot y_{3} \\ x_{1} \cdot y_{2} - x_{2} \cdot y_{1} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) =

= x_{1} \cdot x_{2} \cdot y_{3} - x_{1} \cdot x_{3} \cdot y_{2} + x_{2} \cdot x_{3} \cdot y_{1} - x_{1} \cdot x_{2} \cdot y_{3} + x_{1} \cdot x_{3} \cdot y_{2} - x_{2} \cdot x_{3} \cdot y_{1} = 0

Also ist die Orthogonalität bez. des ersten Grundvektors bewiesen.
Analog mit dem zweiten Vektor.

( Definition impliziert Rechenmodalität )

Femat aktiv_icon

10:09 Uhr, 30.05.2016

Was Respon geschrieben hat, unterscheidet sich von meiner Darstellung darin, dass meine farbiger ist.

Respon

10:19 Uhr, 30.05.2016

Das ist richtig. In der Eile konnte ich meine Lieblingsfarben ( "gedecktes Aubergine" und "leuchtende Malve" ) nicht finden.

Christian- aktiv_icon

10:21 Uhr, 30.05.2016

Ah so, dann habe ich denke ich das Prinzip verstanden.

Siehe Bildmaterial und bitte kommentieren.
Bei der

(3)

bin ich mir unsicher!

Respon

10:30 Uhr, 30.05.2016

Also wenn du

3)

"beweisen" willst:

\vec{x} x \vec{y} = (\begin{matrix} x_{2} \cdot y_{3} - x_{3} \cdot y_{2} \\ x_{3} \cdot y_{1} - x_{1} \cdot y_{3} \\ x_{1} \cdot y_{2} - x_{2} \cdot y_{1} \end{matrix})

\vec{y} x \vec{x}

Die "x" und "y" tauschen ihre Plätze

\vec{y} x \vec{x} = (\begin{matrix} y_{2} \cdot x_{3} - y_{3} \cdot x_{2} \\ y_{3} \cdot x_{1} - y_{1} \cdot x_{3} \\ y_{1} \cdot x_{2} - y_{2} \cdot x_{1} \end{matrix})

...

. und nun vergleiche !

Christian- aktiv_icon

10:39 Uhr, 30.05.2016

Ja genau, die tauschen ihre Plätze.
Der Vergleich zeigt es ja.
Hm... ist meine Darstellung bei

(3)

falsch oder muss ich weitermachen ?

Christian- aktiv_icon

10:41 Uhr, 30.05.2016

Also müsste

0 = 0

herauskommen, was bedeutet, dass dies tatsächlich gilt?!

Respon

10:41 Uhr, 30.05.2016

Du hast keinen "Beweis" geführt, sondern die Behauptung in Komponentenschreibweise einfach hingeschrieben.
Also
UNABHÄNGIG voneinander die beiden Kreuzprodukte bestimmen und anschließend vergleichen.

Femat aktiv_icon

11:00 Uhr, 30.05.2016

vielleicht so

Christian- aktiv_icon

13:57 Uhr, 30.05.2016

Ja genau, dann habe ich sowas heraus(Siehe Bildmaterial).

Ich habe also erstmal auf der rechten Seite das Minus eliminiert.
Und es ergeben sich dadurch identische Ausdrücke, sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite.

---EDIT---

Die letzte Zeile mit

0 = 0

ist blödsinn. Ich weiß nicht weiter... Es müsste sich alles wegkürzen, aber weiß nicht genau.

Femat aktiv_icon

16:43 Uhr, 30.05.2016

Ja die Nullvektoren sind Blödsinn.
Du hast gezeigt, dass das Kreuzprodukt nicht kommutativ ist.
Wenn man die Vektoren vertauscht entsteht ein Resultatsvektor mit umgekehrter Richtung.
Das Kreuzprodukt von Nullvektoren wäre der Nullvektor
Das Skalarprodukt von Nullvektoren wäre 0 als ZAHL

Christian- aktiv_icon

17:38 Uhr, 30.05.2016

Alles klar,
wie lautet dann das richtige

100 %

mathematische Ergebnis zu der

(3)

Femat aktiv_icon

19:08 Uhr, 30.05.2016

Z . B

. so

hps.hs-regensburg.de~rig39165/skripte/TMI_Skript.pdf

"man entnimmt sofort"

auf Seite 8 von

75

Femat aktiv_icon

19:39 Uhr, 30.05.2016

Dass das "man entnimmt sofort" etwas glaubwürdiger wird in Anbetracht eines 18stündigen Chats send ich dir ein konkretes Zahlenbeispiel.

Christian- aktiv_icon

08:21 Uhr, 31.05.2016

Dann lautet die

3) :

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

\vec{b} \times \vec{a} = (\begin{matrix} b_{2} \cdot a_{3} - b_{3} \cdot a_{2} \\ b_{3} \cdot a_{1} - b_{1} \cdot a_{3} \\ b_{1} \cdot a_{2} - b_{2} \cdot a_{1} \end{matrix})

(\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix}) = - (\begin{matrix} b_{2} \cdot a_{3} - b_{3} \cdot a_{2} \\ b_{3} \cdot a_{1} - b_{1} \cdot a_{3} \\ b_{1} \cdot a_{2} - b_{2} \cdot a_{1} \end{matrix})

\vec{a} \times \vec{b} = - (\vec{b} \times \vec{a})

Das Vektorprodukt ist anti-kommutativ.

Respon

08:29 Uhr, 31.05.2016

Die Antikommutativität erschlösse sich auch aus folgendem Teil der Definition des Vektorproduktes :

\to

"Die drei Vektoren bilden ein "Rechtssystem"

Christian- aktiv_icon

08:33 Uhr, 31.05.2016

Alles klar. Würde ich so, wie ich es gemacht habe, für die

3)

die volle Punktzahl bekommen?

Respon

08:35 Uhr, 31.05.2016

Sofern die Komponentenschreibweise verlangt bzw. erwünscht war.

Christian- aktiv_icon

08:39 Uhr, 31.05.2016

Okey danke.. dann hab ich das verstanden.
Danke euch und danke Respon.
Vielleicht wäre es vom Vorteil mir schneller die Lösung zu zeigen mit entsprechenden Rechenschritten, damit ich es schneller begreife. So zieht sich das immer über

20

Stunden in die Länge.

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