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Vektorprodukt als Matrixmultiplikation

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

smoka

20:02 Uhr, 15.05.2009

Gegeben seien die Vektoren

\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})^{T}

und

\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})^{T}

.
Bestimmen Sie die Elemente

a_{i j}

einer Matrix A so, dass gilt

A \vec{b} = \vec{a} \times \vec{b}

.

Kann mir da jemand weiterhelfen? Ich habe keine Ahnung wie ich das anstellen soll. Und was bedeutet eigentlich das "T" im Exponent?

magix aktiv_icon

20:29 Uhr, 15.05.2009

T

steht für transponierte Matrix

Weiter Info auf Wikipedia:

http//de.wikipedia.org/wiki/Matrix_(Mathematik)

smoka

20:49 Uhr, 15.05.2009

Ja danke. Was ist dann ein transponierter Vektor?

smoka

14:20 Uhr, 16.05.2009

Kann mir niemand einen kleinen Rat geben? :-)

magix aktiv_icon

22:50 Uhr, 17.05.2009

Ich kenne mich leider nicht mehr so wahnsinnig gut aus, weil es

25

Jahre her ist, dass ich das zuletzt gemacht habe. Aber ich will trotzdem mein Bestes versuchen.

In allgemeiner Form muss die Matrix doch so aussehen:

a_{11} a_{12} a_{13}

a_{21} a_{22} a_{23}

a_{31} a_{32} a_{33}

bei der Multiplikation mit dem Vektor

b

enststeht:

a_{11} \cdot b_{1} + a_{12} \cdot b_{2} + a_{13} \cdot b_{3}

a_{21} \cdot b_{1} + a_{22} \cdot b_{2} + a_{23} \cdot b_{3}

a_{31} \cdot b_{1} + a_{32} \cdot b_{2} + a_{33} \cdot b_{3}

Und das soll nun gleichgesetzt werden mit dem Kreuzprodukt von a und

b :

\vec{a} x \vec{b} =

a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2}

a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3}

a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1}

Wenn man die beiden Sachen gleichsetzt, erhält man drei Gleichungen:

a_{11} \cdot b_{1} + a_{12} \cdot b_{2} + a_{13} \cdot b_{3} = a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2}

a_{21} \cdot b_{1} + a_{22} \cdot b_{2} + a_{23} \cdot b_{3} = a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3}

a_{31} \cdot b_{1} + a_{32} \cdot b_{2} + a_{33} \cdot b_{3} = a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1}

Wie man das weiter verrechnet, kann ich auch nicht sagen, aber vielleicht ist das doch der richtige Anstoß. Das

T

bei den Vektoren bedeutet eigentlich nur, dass man sie normalerweise als Spalte, statt als Zeile schreiben würde. So, und jetzt bin ich mit meinem Latein am Ende. Vielleicht kommt ja noch einer vorbei, der mehr Ahnung hat als ich.

Gruß Magix

smoka

23:34 Uhr, 17.05.2009

Vielen Dank, das reicht schon :-)

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