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Vektorräume

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Tags: Vektorraum

 
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agricola7

agricola7 aktiv_icon

00:43 Uhr, 15.03.2019

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Hallo,

In der letzten Vorlesung haben wir über Vektorräume gelernt und sollen nun bestimmen ob es sich bei gewissen Beispielen um Vektorräume handelt oder nicht.

Ich bin mir bei ein paar unsicher, deshalb schreib ich die mal auf und versuche meine Behauptung zu begründen.

Sollte ich wo einen Denkfehler haben, würde ich darum bitten mich darauf hinzuweisen.


{(λ2,λ2)2:λ} ist kein Vektorraum, da es kein inverses Element gibt, da λ2 stets eine positive Zahl ist

{(x1,x2)2:x1x2} ist auch kein Vektorraum, da es auch kein Inverses Element geben kann das die Voraussetzung x1x2 erfüllt

{f::f differenzierbar} kein Vektorraum, da f eine konstante differenzierbare Funktion ungleich 0 sein kann und somit keinen Nullvektor also keine Nullstelle hat.

gleiche Begründung auch für {f::f0}

LG agricola
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michaL

michaL aktiv_icon

07:30 Uhr, 15.03.2019

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Hallo,

außer bei den differenzierbaren Funktionen ist alles ok.
Denn: Die Ableitung ist linear, d.h. für differenzierbare Funktionen f und g und reelle Zahlen λ,μ gilt: λf+μg ist differenzierbar und die Ableitung ist (λf+μg)ʹ=λfʹ+μgʹ

Mfg Michael
agricola7

agricola7 aktiv_icon

08:35 Uhr, 15.03.2019

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Danke für die rasche Antwort,

Ich hab noch eine Frage:

Muss das Ergebnis der Vektoraddition zweier Vektoren wieder in meinem Vektorraum liegen, damit es sich um einen Vektorraum handelt

also ein Beispiel dazu:

Gegeben sei {(x1,x2)3:x1x2=0}

Also zwei mögliche Vektoren wären (20) und (03) wenn ich die addiere bekomme ich aber einen Vektor (23), der meine Vorraussetzungen von oben nicht erfüllt und daher auch nicht im Vektorraum liegen würde.
Heißt das jetzt dass es sich in dem Beispiel dann nicht um einen Vektorraum handelt

LG
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ledum

ledum aktiv_icon

11:51 Uhr, 15.03.2019

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Ja, du hast Recht und ein richtiges Gegenbeispiel reicht, um zu zeigen, dass es kein VR ist
Gruß ledum
agricola7

agricola7 aktiv_icon

13:18 Uhr, 15.03.2019

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Super danke,

und wie überprüfe ich ob es sich um einen Funktionenraum handelt oder nicht.

Das mach ich ja sofern ich weiß auch mit den 8 Axiomen (Assoziativität, neutrales Element,...)

Was zum Bsp. bei {f::f0} bedeuten würde, dass es sich hier nicht um einen Funktionenraum handelt, da ich wieder kein Inverses Element finden kann, da ja gilt f0.

Aber wie wäre das dann bei komplizierteren Bedingungen wie {f::f stetig und -11f(x)dx=0}

LG