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Vektorräume

Universität / Fachhochschule

Tags: dimenson, Unterraum, Vektorraum

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16:40 Uhr, 04.12.2012

Wie viele paarweise verschiedene 1-dimensionale lineare Unterräume gibt es in
dem F5-Vektorraum (F5)hoch 3? Und in dem Fp-Vektorraum (Fp)hoch

n (p

prim)?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

16:43 Uhr, 04.12.2012

Hallo,

zum ersten Teil: 31

Mfg Michael

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16:47 Uhr, 04.12.2012

oh da lag ich ja ganz falsch.
kannst du mir vllt. noch einen Ansatz sagen ?

michaL aktiv_icon

16:51 Uhr, 04.12.2012

Hallo,

nun, wieviele Elemente hat der Vektorraum insgesamt?
Wieviele davon spannen überhaupt einen eindimensionalen Unterraum auf?
Und wieviele Elemente hat so ein eindimensionaler Unterraum?

Das alles "zusammengerechnet" ergibt die Lösung!

Mfg Michael

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17:38 Uhr, 04.12.2012

zu 1.

125

.
zu 2. es bleiben

72

.
bei der dritten frage müssten also noch

41

abgezogen werden, aber ich weiß nicht wie.

Ich hatte vorher den Ansatz, dass es für den Primkörper

F 5 := {0 . 1,2,3,4}

folgende möglichen paarweise verschiedenen 1-dimensionalen lineare Unterräume gibt:

(100); (200); (300); (400); (010); (020); (030); (040); (001); (002); (003); (004)

Das wären also

12

.
Oder anders vielleicht anders Geschreiben, wenn man als Basis

B = {(100), (010), (001)}

annimmt.

U 1

wird erzeugt durch

(100),

also

U 1 = < (100) >;

U 2

durch

(010),

also

U 2 = < (010) >

und

U 3

durch

(001),

also

U 3 = < (001) >

michaL aktiv_icon

10:50 Uhr, 05.12.2012

Hallo,

öhm, 125 ist richtig. Aber das andere ...

Nur ein Vektor von den 125 spannt KEINEN ein-dimensionalen Vektorraum auf. Weißt du, welcher?

Dann die Überlegung, welche Vektoren den gleichen(!) Unterraum aufspannen. Klar, das sind die, die im gleichen Unterraum liegen. Nimm doch

(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array})

. Der von diesem Vektor aufgespannte Unterraum ist

F_{5} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array})

. Insbesondere ist darin

2 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array})

enthalten.
Dieser Vektor spannt den gleichen Unterraum auf, da

3 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array})

über

F_{5}

gilt.

Klar, was ich da mache? Ich berechne, wie viele Vektoren sich jeweils in einem eindimensionalen Untervektorraum befinden. Das sind praktischerweise immer gleich viele (sonst würde die Methode wenig Sinn machen). Es sind immer 5. Einer davon ist der Nullvektor, den ich oben schon (indirekt) erwähnt hab.
Bleiben also von den 124 Vektoren, die einen eindimensionalen Unterraum aufspannen nur

\frac{124}{4}

, die verschiedene aufspannen.

Mfg Michael

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