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Vektorräume, Basis und Dimension
Universität / Fachhochschule
Lineare Unabhängigkeit
Vektorräume
Tags: basis, dimension, Erzeugendensystem, Lineare Unabhängigkeit, Vektorraum
 
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Guten Abend zusammen, diese Woche haben wir die obigen Themen durchgenommen. Ich denke es ist mir klar, habe aber ein paar Fragen dazu. Sei erstmal V ein K-Vektorraum und . Dann ist B die Basis von V, wenn B ein linear unabhängiges Erzeugendenystem von V ist. D.h. B ist eine Menge mit Vektoren und diese Vektoren müssen linear unabhängig sein und den Vektorraum aufspannen können. Das ist eine Basis. Aufspannen heißt in dem Fall man kann mit allen Linearkombinationen der Vektoren in B einen Vektor erzeugen, der dann wieder im Vektorraum V ist. Es darf nur nicht der Nullvektor rauskommen, nur wenn alle Körperelemente der Linearkombination Null sind. Also ist die Basis von z.B. Die Vektoren sind linear unabhänging und ich kann damit(Linearkombinationen der Vektoren in B) den genannten Vektorraum aufspannen(=Erzeugendensystem). Man schreibt auch V=<B>. Und die Dimension ist dann einfach die Anzahl der Vektoren, die in der Basis stehen. Nun habe ich hier ein Beispiel, was mir nicht ganz klar ist(Dimension und Basist ist zu berechnen): Gegeben ist: als -Vektorraum. Laut Definition müsse ja diese 3 Vektoren jetzt einen -Vektorraum aufspannen. Es soll die Basis und die Dimension berechnent werden. Ist das eine "Fangfrage"? Die Basis ist doch schon hier und die Dimension muss ja dann 3 sein. Verstehe ich das etwa falsch? Liebe Grüße newcomers Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo Nein eine Basis ist es nur, wenn die 3 linear unabhängig sind. Man kann aber . den dritten leicht als Linearkombination der 2 ersten schreiben. also ist das keine Basis eines Raums. Wenn 2 davon lin unabhängig sind spannen sie einen Raum auf, von dem sie dann auch eine mögliche Basis sind. Wenn du aber zu einer Basis des ergänzen sollst musst du eine dritten lin unabhängigen finden. Gruß ledum |
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Danke für die schnelle Antwort! Also ich hab die Aufgabe mal im Anhang gepostet, da stehen keine konkrete Räume(2d oder 3d etc.) also kann man sagen, dass bei Aufgabe a) und b) das keine Basis ist und fertig? Ich verstehe die Aufgabe nicht wirklich. Also laut Aufgabe muss ich zu z.b. für a) und b) die Basis bestimmen, obwohl diese schon gegeben ist, aber das ist eine falsche Basis. Ich verstehs nicht, was gemeint ist :/.  |
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Ahh, da ist keine Basis gegeben, sondern die schreibweise "<...>" bedeutet nur, dass es ein Erzeugendessystem ist und eine Basis ist es erst dann, wenn die Vektoren innerhalb der <....> linear unabhängig sind. Ja gut, aber ich verstehe trotzdem Aufgabe a) nicht ganz, denn in dem Fall habe ich einfach ein Erzeugendessystem gegeben, dass einen Vektorraum erzeugt und von diesen Vektorraum kann ich ja überhaupt keine Basis dann ermitteln. Und was bedeutet dann <....> ist ein Q-Vektorraum? Das es um den Körper Q geht? Also werden Körperelemnte aus Q für die Linearkombinationen verwendet? |
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Hallo du hast das Erzeugendensystem, da darin nur 2 lin unabh. Vektoren sind, 1 und 2 oder 1 und 3 oder 2 und 3 hast du einen Unterraum. die Basis hat also 2 lin unabhängige Vektoren. Also kannst du als Basis einfach 2 Vektoren aus dem Erzeugendensystem nehmen. jetzt dasselbe mit denselben Vektoren. aber in wieviel lin unabh. Vektoren hast du jetzt in dem ErzSyst.? schreib dir ein typischen allgemeines element auf, wie kannst du es erzeugen? ist in usw. überleg dir jeweils einen typischen allgemeinen Vektor, wie kannst du ihn durch linearkombinationen von Basisvektoren erzeugen? eine Basis ist nie eindeutig, aber oft gibt es eine einfachste! im rr^2 etwa ist eine besonders einfache Basis, aber etwa und ist auch eine Basis, da die 2 lin unabhängig sind. Gruß ledum |
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Ahh, danke, jetzt ist es klarer. zu b) okay hier merke ich, mir fehlt noch Wissen. Denn z.b. Warum sind Inhalte(der Vektoren) des vorgegeben Erzeugendensystem in R, aber nicht in Q? Weil es ja ein Q-Vektoraum ist. Oder wird da mit Q-Elemente multipliziert? Sind die Vektoren dann (1,2,3) bei Z_5? Also kommt halt auf die obige Antwort drauf an^^. c) Naja hier können die Basen ja nur eindimensionale Vektoren haben, also kann eine Basis sein. Wurzel 2 muss drinnen sein, da ich es ja nicht anders erzeugen kann. Und mit 1 kann man alle rationale zahlen erzeugen. Stimmts? |
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Hallo die Komponenten sind aus und die möglichen Linearkombinationen mit Faktoren aus ebenso wenn da steht dann ist etwa usw Gruß ledum |
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Komponenten? du meinst die Komponenten im Vektorraum Q oder? Die Komponenten des erzeugendensystem sind in R soweit ich das richtig sehe. Richtig erkannt? Habe ich c) oben richtig gelöst? |
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Hallo den ganzen Zahlen die da stehen siehst du nicht an, ob sie aus oder sind. da aber VR dabei steht kannst du den _Vektor nicht erzeugen, er liegt also nicht im VR. Gruß ledum |
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Ich weiß noch nicht genau was du meinst leider. vielleicht ein allgemeines Beispiel: Was heißt jetzt "R^2 als R-Vektorraum"? R^2 ist ja die Menge der 2d-Vektoren. Und R-Vektorraum ist die Menge alle Linearkombinationen, der Vektoren, die aus R^2 sind? Ist das damit gemeint? |
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Okay, voriges ist doch total unlogisch. R^2 ist doch der Vektorraum schon selbst. Aber ich verstehe eben nicht, wenn ich 2 Unterschiedliche Zahlenmengen haben, wie C und R z.B. |
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Achso. "C^2 als R-Vektorraum" heißt doch nur, dass als Körpelemente, die in R sind, hergenommen werden für die Linearkombination, um Vektoren in C^2 zu erzeugen. Jetzt ist es aber richtig, oder? Die Basis von Aufgabe d ist leicht zu finden: B={(0,1),(1,0),(i,0)(0,i)} weil ich eben diese Vektoren mit Körperelemente aus R multipliziere. Für C^2 als C-Vektorraum wäre die Bases einfach {(0,1),(1,0)}, weil mir die Körperelemente von C zur Verfügung stehen. Aber ich verstehe nicht, wie das bei a) nun abläuft. Da habe ich nun 3 Vektoren die bereits einen Vektorraum erzeugen, etwa mit den Körperelemnten in Q? |
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Hallo deine Basis für den als ist richtig. in hatte ich dir doch gesagt, nimm 2 der drei Vektoren aus dem Erzeugendensystem. das gibt eine Basis des Unterraums. eine Basis muss nicht immer aus Nullen und Einsen bestehen einfach so viele linear unabhängige Vektoren, wie die Dimension ergeben eine Basis. die Vektoren hier haben 3 Komponenten, da es ein Unterraum der ist, aber da dieser UVR nur ist hast du nur 2 Basisvektoren. Gruß ledum |
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