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Vektorräume mit endlichen Körpern
Universität / Fachhochschule
Vektorräume
Tags: endlich, Körper, Vektorraum
 
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Hey Leute, ich komme gerade aus dem Krankenhaus nach meinem Blinddarmdurchbruch. Ich habe mich versucht ins Thema einzulesen und versucht so vieles wie möglich zu verstehen ( habe ja viel verpasst). Leider habe ich bei der Aufgabe keinen Plan und muss sie bis morgen haben... Ich wäre sehr dankbar wenn wir jemand diese Aufgabe erklärend lösen könnte. Es ist nicht meine Art Lösungen auf dem Silbertablett zu kriegen und vorherige Fragen habe ich immer mit der netten, hilfsbereiten Person gelöst, aber die Zeit drängt leider.. Ich bin über jede Erklärung zum Thema und Lösung sehr dankbar :-) Aufgabe IX.3 Punkte): Sei (eigentlich nur ein Schrägstrich denke das war Modulo ?) der endliche Körper mit zwei Elementen. Sei also 2 übereinandergestellte Zweien wie beim Bruch ohne Bruchstrich) . Berechnen Sie die Anzahl der verschiedenen Basen von . Bitte begründen Sie Ihre Antwort. Sei analog wie bei 3über der 2 . Berechnen Sie die Anzahl der verschiedenen Basen von . Bitte begründen Sie Ihre Antwort. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, so viele Vektoren haben ja und nicht. Zähle doch einmal alle auf! (Ja, das geht, es sind jeweils nur endlich viele, das schaffst du heute noch.) Untersuche dann, wie du im Falle von * je zwei davon linear unabhängig zusammen bekommst bzw. im Falle von * je drei davon linear unabhängig zusammen bekommst. Gut, der erste Teil ist doch ein ordentliches Stück einfacher, da man nur Paare betrachten muss, aber dennoch ist der zweite Teil grundsätzlich auf die gleiche Art möglich. Vielleicht schaust du, was ihr in der Vorlesung zu linear unabhängigen Vektoren und Gleichungssystemen und Determinanten gemacht habt. Mfg Michael |
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Was heißen denn überhaupt diese übergestellten Zahlen Sorry ich blicke gerade dabei echt nicht durch |
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Hallo, das schlägst du am besten mal in deiner Mitschrift/deinem Skript nach. Viel Erfolg. Mfg Michael |
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Hallo nochmal, ich habe es leider durchforstet und das Thema endliche Körper nicht gefunden.... Aus reiner Intuition würde ich jetzt sagen ich weiß leider immer noch nicht was es bedeutet.. wären das und der Nullvektor Korrigiere mich gerne :-) möchte die Aufgabe gerne verstehen |
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Hallo, aber was bedeutet, weißt du? Eigentlich geht es nur darum, dass du jetzt die Menge der Grundwerte durch ersetzt. Ja, (0;0), und sind Elemente davon. Eines hast du aber noch vergessen. Mfg Michael |
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Ja was der Vektorraum ist weiß ich. Ich glaube der letzte Vektorn ist oder? Ich weiß aber nicht was du mit ersetzen meinst... wie gesagt stehe da komplett auf de Schlauch, mit einer Lösung oder einem guten Ansatz checke ich es vlt… |
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Hallo, > Ich weiß aber nicht was du mit ersetzen meinst Ok, in gibt es "Vektoren" der Art , in nicht. Alle Einträge für die Vektoren müssen da aus der Grundmenge stammen. Dort gilt insbesondere , weswegen es kein Inverses von 2 (oder von 4 oder irgendeiner anderen geraden Zahl) geben kann. Wesentlich ist folgendes (und das war 100 %ig auch in der Vorlesung dran): Mit Vektoren sind "Dinger" gemeint, die gewissen Rechengesetzen unterliegen: * Addition ist eine abelsche Gruppe * Skalarmultiplikation von "Zahlen" (Skalaren) mit "Vektoren" sind auch gewissen Regeln unterworfen (Assoziativgesetz, 2 gem. Distributivgesetze, Kommutativgesetz) Welche "Zahlen" man nun in den "Vektoren" verstaut, das ist nicht vorgeschrieben. In (verstanden als -Vektorraum) sind es Brüche. In (verstanden als - oder -Vektorraum) sind es reelle Zahlen. In (verstanden als - oder - oder -Vektorraum) sind es komplexe Zahlen. Im Vektorraum der Polynom vom Grad höchstens 2 mit reellen Koeffizienten sind es wieder reelle Zahlen: Wesentlich sind die Rechengesetze, denen sie (die Vektoren) unterworfen sind. Und die sind für alle Vektorräume erst einmal die gleichen (habe ich oben aufgelistet, war in deiner Vorlesung dran!). Nun kannst du aber auch andere "Zahlen" nehmen, etwa die aus dem endlichen Körper oder jedem anderen. Denn: Was muss ich mit den Dingern können? * Addieren * Subtrahieren * Multiplizieren * durch alle außer 0 auch Dividieren (* weitere Rechengesetze wie Assoziativgesetze, Kommutativgesetze und Distributivgesetz müssen gelten) Und dass ich das mit den "Zahlen" machen kann, garantiert eben ein Körper, egal welcher. > Ich glaube der letzte Vektorn ist (1,1) Korrekt. Vielleicht hast du schon davon gehört, dass die Größe einer Basis die Dimension eines Vektorraums bestimmt. Im Falle ist die genauso 2 wie bei , d.h. wie groß muss jede Basis des sein? Und welcher der 4 Vektoren kann in keiner Basis liegen? Und wie viele Zweier-Kombinationen der übrigen drei Vektoren sind linear unabhängig und folglich eine Basis? Mfg Michael |
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DANKE , ich glaube jetzt habe ich es verstanden . Die Dimension der Basis von muss dann 2 sein und somit darf die Basis nur aus 2 Vektoren bestehen . Also muss ich die 4 genannten Vektoren nehmen und die Kombinationen von 2 Vektoren auf lineare Unabhängigkeit prüfen . Bei muss die Dimesion dann 3 sein weil es ja wie im wäre oder ? Also Base aus 3 Vektoren |
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Hallo, ja. Du kannst dir die Sache damit erleichtern, dass du meine zweite Frage beachtest: Der Nullvektor ist alleine schon linear abhängig, kann also kein Teil einer Bais sein. Für kannst du zwei Vektoren wählen. Der einzige Vektor, mit dem du (abgesehen vom Nullvektor) die beiden Vektoren NICHT zu einer Basis ergänzen kannst, ist der Summenvektor. (Warum eigentlich nicht?) Es ist nicht so schwierig, sich das klar zu machen. Damit brauchst du nicht alle vielen Kombinationen auf lineare Unabhängigkeit zu testen. Da ich gerade sehe, dass du nicht alle Basen angeben sollst, sondern nur deren Anzahl berechnen musst, helfen dir die Überlegungen eben nicht alle möglichen Basen auf lineare Unabhängigkeit untersuchen zu müssen. Das wäre im Fall b) ein erheblicher Gewinn. Mfg Michael |
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Geht es mit dem Summenvektor nicht , da er ja linear abhängig zu den verwendeten addierten Vektoren ? Also hier Somit kann ich nur und zu einer Basis machen , weil der Nullvektor ja linear abhängig ist . ist mir leider nur noch nicht so klar weil ich hier ja 3 Vektoren nehmen müsste oder ? |
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Bei a hätte ich dann ja 2 mögliche Basen und halt nochmal andersrum aber bei hätte ich was ? |
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Hallo, eine Basis ist erst einmal nur eine Menge, "andersrum" käme dann das gleiche heraus, da die gleiche Menge ist wie . (Bei geordneten Basen ist das anders, die haben wir hier aber meiner Meinung nach nicht). Was ist mit den anderen beiden Kombinationsmöglichkeiten? Sind die linear abhängig? b) machen wir später. Mfg Michael |
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ich Hatte das so verstanden das ich den Nullvektor und summenvektor nicht verwenden kann ,Aber und mit dem Vektor wären auch linear unabhängig wenn ich richtig gerechnet habe |
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Hallo, und merke, immer nur eine Teilaufgabe gleichzeitig besprechen, sonst geht es munter durcheinander! Hast du denn (abgesehen von der Möglichkeit, mein posting noch einmal genau anzuschauen), überprüft, ob linear unabhängig ist? Meine Aussage über den Summenvektor galt (was ich zu meiner Schande falsch geschrieben hab)! Mfg Michael |
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Habe auch nochmal deinen Post angeguckt und ja habe ich überprüft : a• b• . Selbiges müsse dann analog für mit gelten also müsste es 3 mögliche Basen geben oder |
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Hallo, ja. Müsstet ihr nicht auch schon Determinanten gehabt haben? Offenbar hat die Matrix die Determinante 1, also vollen Rang, also sind die Spaltenvektoren (und die Zeilenvektoren) linear unabhängig. Für lineare Abhängigkeit muss die Determinante Null sein. Mfg Michael |
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rang und Determinante durften wir noch nicht benutzen Bei einer anderen Aufgabe durften wir auch das Gauß Verfahren / bzw. Die Matrix Schreibweise. Noch nicht wirklich nehmen |
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Kann man das jetzt irgendwie direkt auf übertragen , Meiner Meinung nach gäbe es doch dann da Garkein Basis oder ? Weil 0 Vektor und Summenvektor ja nachdem was ich verstanden habe im linear abhängig sind und somit nur und linear unabhängig bleiben und eine Basis im doch aus 3 Linear unabhängigen Vektoren bestehen muss |
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Hallo, hm, der Nullvektor scheidet immer aus. Bei b) hast du aber Vektoren mit 3 Einträgen (). Es gibt immer eine Basis (Basisergänzungssysatz). Klar, ist eine Basis, die so genannte Standardbasis. Das ist aber nicht die einzige. Was ich dir mitteilen wollte (aber das darf man auch selbst heraus finden), war folgendes: Wählst du irgend zwei von den 7 zur Basis des tauglichen Vektoren (der Nullvektor ist selbst linear abhängig, ist also nie Teil einer Basis), etwa und , so ist der einzige weitere Vektor in dem von den beiden ersten erzeugte Untervektorraum (und damit von den ersten beiden linear abhängig) der Summenvektor . Soll heißen: Von den verbleibenden 5 Vektoren (zwei verschiedene Vektoren ungleich Nullvektor hast du gewählt) darfst du jeden wählen, nur nicht den Summenvektor, um die beiden zu einer Basis zu ergänzen. Das muss man natürlich argumentativ irgendwie nachweisen oder aber eine Menge Rechenarbeit leisten, um von den Dreierkombinationen die immerhin 28 verschiedenen Basen nachzuweisen. So viel Verständnis ich für deine Situation auch aufbringen mag, aber in Mathe geht es ums Argumentieren. Leider wurde/wird das in der Schule viel zu knapp gemacht, wenn überhaupt. Mache dir klar, wie speziell im Falle der Vektorräume die Bildung von Untervektorräumen funktioniert im Vergleich zu anderen Koordinatenräumen . Das gibt dir einen Schlüssel in die Hand, wieso gerade der Summenvektor NICHT zur Ergänzung zu einer Basis genommen werden kann. Daraus lässt sich die Zahl 28 leicht herleiten. Mfg Michael |
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Nach Welzen von Mitschriften anderer habe ich die Aufgabe nun verstanden und gelöst . Ich danke dir nochmal vielmals und wünsche dir eine schöne Weihnachtszeit :-) |
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