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Vektorräume über endlichen Körpern
Universität / Fachhochschule
Vektorräume
Tags: basis, dimension, Vektorräume
 
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Hallo,ich kenne mich mit dem Thema Vektorraum nicht so gut aus. Hier sind 2 Fragen zu beantworten: a) Es sei K ein endlicher Körper mit q Elementen und es sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Wieviele Elemente besitz V? b) Es sei L ein endlicher Körper und K (Teilmenge von) L ein Unterkörper mit q Elementen. Zeigen Sie, dass die Anzahl der Elementen von L eine Potenz von q ist. Ich bedanke mich im Voraus. |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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| a) er besitzt n-mal so viele Elemente wie K also n*q |
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Sorry, aber das kann nicht stimmen.Betrachten wir den Körper F^5. Dies sind fünf Elemente. Damit haben wir also auch schon den endlichen Körper K. Wollwn wir nun wissen, wieviele Elemente in (F^5)^3 müssen wir uns vor augen halten, wie diese elemente aussehen. Da greifen wirauf die Definition des Vektorraums zurück: n-Tupel! (F^5)^3={(a,b,c)el.v.(F^5)^3|a,b,c elemente F^5} dürfte dann ungefähr die Menge sein die wir suchen. Wir haben also die Möglichkeit in jede Koordinate ein Element von F^5 einzusetzen. Wir können dabei sagen, dass wir immer eine Koordinate festsetzen und dann an den restlichen Stellen die Zahlen durchlaufen lassen. Setzen wir a fest auf 0: Dann existtieren die Elemente: (000)(001)(002)(003)(004)010)(011)(012)(013)(014)(020)(021)(022)(023)(024)(030)(031)(032)(033)(034)(040)(041)(042)(043)(044). machen wir das mit allen elementen bekommen wir insgesamt 125 elemente. Meine Behauptung ist also diese: der n-dimensionale K-Vektorraum über der endlichen Menge K mit q elementen hat genau q^n elemente. Finde ich perdönlich logischer, da die Wahrscheinlichkeit einer linearen erhöhung von Dimension zu Dimension eher 0 ist. |
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