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Vektorraum Beweis

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Vektorräume

Tags: U, Vektorraum

SilverShadow aktiv_icon

18:34 Uhr, 02.05.2012

Hallöchen!
Habe leider wieder ein Problem, diesmal geht es um Vektorräume.
(Aufgabe siehe Anhang)

Den ersten Teil verstehe ich, danach hängts bei mir ein bisschen
Supp ist laut google (und laut der Def. in der Aufgabe im Nachhinein

; P)

der "Träger".
Anscheinend ist es definiert über die Menge aller Variablen, die nicht den Funktionswert 0 ergeben.
Der nächste Teil bedeutet, dass unser neuer, zu prüfender, Vektorraum genau das selbe ist wie der schon angegebene Vektorraum, nur ohne alle

m \in M

die als Funktionswert 0 ergeben. Laut Angabe sind die dann noch endlich, also abzählbar.

Habe ich jetzt erstmal die Aufgabe richtig wiedergegeben?
Falls ja, mit welcher Methode könnte ich sowas denn beweisen?

Vielen Dank :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

18:59 Uhr, 02.05.2012

Hallo,

nein, du hast die Aufgabe nicht so richtig verstanden, fürchte ich.

Die Menge aller Funktionen von der Menge

M

nach

ℝ

ist mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation (wie im Text beschrieben) ein reeller Vektorraum.

Als Beispiel für die Menge

M

könnte man WIEDER die reellen Zahlen

ℝ

nehmen.
Dürfte klar sein, dass für zwei reelle Funktionen

f, g : ℝ \to ℝ

, die Summenfunktion

f + g : {\begin{array}{lll} ℝ & \to & ℝ \\ x & \mapsto & f (x) + g (x) \end{array}

wieder eine reelle Funktion ist. Gleiches gilt natürlich für etwa

\sqrt{17} \cdot f

.

Eine solche reelle Funktion könnte etwa

h : x \mapsto x^{2}

sein.

Diese (Quadrat-)Funktion ist allerdings kein Element des unten genannten Vektorraums, da dessen Elemente Funktionen MIT ENDLICHEM TRÄGER sind. D.h. die Menge auf der die Funktion NICHT Null ist, die ist endlich.
Ein Beispiel dafür ist etwa:

k : {\begin{array}{lll} ℝ & \to & ℝ \\ x & \mapsto & 0, x \neq 1 \\ 1 & \mapsto & 1 \end{array}

Die beiden in der Aufgabenstellung erwähnten Vektorräume sind genau dann gleich, wenn

M

eine ENDLICHE Menge ist.

Soviel vielleicht zum Verständnis von

{Abb}_{0} (M, ℝ)

.

Deine Aufgabe ist aber trotzdem sehr deutlich formuliert: Zeige, dass es sich bei

{Abb}_{0} (M, ℝ)

um einen Vektorraum handelt.

Wie macht man so etwas? Mein Gott! Wie immer! Um sich Vektorraum nennen zu dürfen, muss eine Menge gewisse Axiome erfüllen. Die habt ihr in der Vorlesung aufgeschrieben (oder sie sind im Script; notfalls stehen sie bei Wikipedia). Du musst prüfen, ob diese Axiome in diesem speziellen Fall gültig sind.

Mfg Michael

SilverShadow aktiv_icon

19:23 Uhr, 02.05.2012

Nur zum Verständnis: Bei der Funktion

k

wären doch alle

y

Werte

0,

bis auf

x = 1,

da wäre

y = 1,

nicht wahr?
Hab nochmal im Skript nachgeschaut (auch in dem Teil "Vektorräume" den wir noch nicht gemacht haben - Aber kompakte Definitionen wie bei Wiki finde ich da nicht. Deswegen werde ich mal die von Wiki benutzen.
Dass ich die Eigenschaften nachweisen muss wusste ich, aber das ist leichter als gesagt.

Laut Wiki sind es ja 4 Eigenschaften, ich versuche jetzt mal ein paar Sachen auf die Aufgabe zu übertragen:

Die Multiplikation mit einem Skalar (ich schreibe den "Stern" jetzt mal als # wegen latex) wäre durch #:

M x R \to R

definiert (hab ich das richtig verstanden?)

Sei

u, v \in R

und

a, b \in M,

dann muss gelten:

a#(b#v)=(a

\cdot

b)#v

Kann ich dann die # (bzw. bringts mir für den Beweis was) durch irgendwie mit der MxR Information "umformen"? Oder wie sollte man vorgehen um die 1. Eigenschaft zu zeigen?

Danke :-)

michaL aktiv_icon

20:04 Uhr, 02.05.2012

Hallo,

das ist ja der Trick! Die Rechengesetze führen (unabhängig von

M

) stets zu den reellen Pendants.
So ist etwa für

α, β \in ℝ

und

f \in {Abb}_{0} (M, ℝ)

α \cdot (β \cdot f (x)) = (α \cdot β) \cdot f (x)

(für alle

x \in M

), da

α, β, f (x) \in ℝ

gilt.

Unabhängig davon gehe ich davon aus, dass ihr verwenden dürft, dass es sich bei

Abb (M, ℝ)

um einen reellen Vektorraum handelt. Dann muss man nur prüfen, dass es sich bei

{Abb}_{0} (M, ℝ)

Untervektorraum handelt. Das geht vergleichsweise einfacher als der Nachweis aller Vektorraumeigenschaften. So muss man eigentlich "nur" zeigen, dass die einen Vektorraum definierenden Operationen (Addition, Skalarmultiplikation, Nullvektor) NICHT aus dem vermuteten Unterraum herausführen.

Mfg Michael

SilverShadow aktiv_icon

21:08 Uhr, 02.05.2012

Moment; also für

v \in R

setzt du jetzt

f (x)

ein, und formst das ganze nach der Regel die ich beschrieben habe um. Hast du mit Absicht überall

\cdot

Zeichen statt dem Stern (von Wiki) bzw. hier der Raute verwendet?

Ok und laut Unterraumvektor Eigenschaften ist Ab_0 logischerweise ein Vektorraum, wenn ich die Unterraumeigenschaften dafür nachweisen kann. Also dass Ab_0 Teilmenge von Ab. ist. (Der Text hier lässt mich keine

2 b' s

verwenden, die verschwinden immer).
Also muss ich laut Wiki nun nur noch zeigen, dass

1)

Ab_0 ist ungleich der leeren Menge (wie formulierst du das Ab_0 eigentlich so schön in Latex?)

2) \forall x, y \in

Ab_0 gilt

x + y \in

Ab_0

3) \forall x \in

Ab_0 und

a \in M

(oder R?)

Leider wüsste ich jetzt auch nicht, wie ich die 3 Eigenschaften konkret beweisen sollte

\frac{:}{}

MfG

SilverShadow aktiv_icon

13:41 Uhr, 04.05.2012

hat niemand eine Ahnung?

\frac{:}{}

hagman aktiv_icon

15:13 Uhr, 04.05.2012

1)

Dass

A b b_{0} \neq \emptyset

ist, zeigst du durch Angeben eines konkteten Elementes. Tipp: Am einfachsten ist es normalerweise, nachzuweisen ,dass der Nullvektor enthalten ist - der bei tatsächichem Vorliegen eines Unterraums ja auch mindestens drin sein muss.

ad

2)

Zeige

s u p p (f + g) \subseteq s u p p (f) \cup s u p p (g)

Mit anderen Worten:

(f + g) (m) \neq 0 \Rightarrow (f (m) \neq 0 \lor g (m) \neq 0)

3)

Zeige

s u p p (a \cdot f) \subseteq s u p p (f)

Mit anderen Worten:

(a \cdot f) (m) \neq 0 \Rightarrow f (m) \neq 0

SilverShadow aktiv_icon

16:00 Uhr, 04.05.2012

Danke für die schnelle Antwort :-))

Gehören

2)

und

3)

jetzt zu dem Nachweis von den Punkten

2 & 3,

die ich vorher hingeschrieben hab
((2)∀x,y∈ Ab_0 gilt x+y∈ Ab_0
3)∀x∈ Ab_0 und a∈M (oder R?) )

?
Weil irgendwie erkenne ich jetzt nicht, wie du von den Eigenschaften des Unterraumvektors auf

2)

und

3)

in deinem Beitrag kommst. Das mit der leeren Menge habe ich verstanden, stand bei mir ja auch unter

1)

.

Könnte man den Nullvektor nicht einfach beweisen durch die Tatsache, dass Ab_0 auf ganz

R

abgebildet wird? Oder bedeutet

M \to R

nicht zwangsweise, dass alle Elemente in

R

abgebildet werden müssen? Wenn das so nicht geht wäre ich ein bisschen ratlos.

Verzeih mir wenn ich mich etwas blöd anstelle, aber dank der super Übungs Koordination habe ich noch nichts von supp gehört, und die Definitionen von Vektorräumen kamen in der VL auch noch nicht dran.

michaL aktiv_icon

15:11 Uhr, 05.05.2012

Hallo,

ich würde dir empfehlen, statt dieser Aufgabe eben erst einmal genau die Begriffe Träger und (Unter-)Vektorraum zu durchleuchten.
Ohne die Grundlagen kannst du die Aufgabe sowieso nicht allein lösen.

Mfg Michael

SilverShadow aktiv_icon

15:16 Uhr, 05.05.2012

Habe ich auf Wiki schon versucht, aber konkret die Eigenschaften zu beweisen schaffe ich irgendwie nicht.

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