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Vektorraum + Erzeugnis

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Vektorraum

8mileproof aktiv_icon

15:51 Uhr, 18.04.2012

hallo,

wie kann ich überprüfen, ob

ℝ^{2} = < v_{1}, v_{2} >

gilt, wobei

v_{1} = (\begin{matrix} - 1 \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) \in ℝ^{2}

und

v_{3} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}) \in ℝ^{2}

ich dachte, da an das thema Erzeugendensystem. und zwar ist ein erzeugendensystem ja die menge aller linearkombinationen, die den Vektorraum aufspannen. sprich

< v_{1}, v_{2} ... v_{n} > = V

um zu zeigen, muss ich doch einen Vektor aus den anderen linear kombinieren, oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Paulus

16:00 Uhr, 18.04.2012

Hallo

ja, ganz genau, nur das musst du überprüfen.

Du siehst übrigens recht schnell, dass

v_{2} = - 2 \cdot v_{1}

Womit diese beiden Vektoren

v_{1}

undf

v_{3}

nicht linear unabhängig sind.

Gruss

Paul

8mileproof aktiv_icon

16:02 Uhr, 18.04.2012

edit: ich hab meinen obigen beitrag ein wenig geändert...;-)

denn wenn ich das versuche, linear zu kombinieren, dann gelingt mir das:

(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}) = - 2 \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ \frac{1}{2} \end{matrix})

also ist das ein erzeugendensystem, oder etwa nicht?

Paulus

16:18 Uhr, 18.04.2012

Nein, eben NICHT

Wenn beide Vektoren in die gleiche Richtung zeigen, kannst du doch nur eine Gerade erzeugen, nicht eine Ebene.

Die Vektoren müssen UNabhängig sein, damit sie

ℝ^{2}

erzeugen können. Also bei zwei Vektoren im

ℝ^{2}

dürfen sie nicht in die gleiche Richtung zeigen.

Gruss

Paul

8mileproof aktiv_icon

16:26 Uhr, 18.04.2012

ja, also okay.

ich nehme also vektor

v_{1}

und versuche ihn mit

v_{2}

darzustellen. und daraus ergibt sich :

(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}) = λ \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) = - 2 (\begin{matrix} - 1 \\ \frac{1}{2} \end{matrix})

das bedeutet, wenn ich das richtig verstanden hab, dass ich diese Linearkombination nur nicht-trivial darstellen kann. also ist das ganze linear abhängig.
es müsste aber eigentlich linear unabhängig sein, damit

ℝ^{2} = < v_{1}, v_{3} >

gelten kann, oder?

Mi123 aktiv_icon

21:22 Uhr, 21.08.2014

Hi, ein bisschen her, aber da ich bestimmt nicht als einzige darauf stoße:
Es ist ganz ein fach:

Da wie schon bemerkt

v_{1}

sich als Linearkombination von

v_{2}

darstellen lässt

(- 2 \cdot (\begin{array}{rcl} - 1 \\ \frac{1}{2} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 2 \\ - 1 \end{array}))

, gilt:

(\begin{array}{rcl} 2 \\ - 1 \end{array}) \in s p a n ((\begin{array}{rcl} 2 \\ - 1 \end{array}), (\begin{array}{rcl} - 1 \\ \frac{1}{2} \end{array}))

und somit

s p a n ((\begin{array}{rcl} 2 \\ - 1 \end{array}), (\begin{array}{rcl} - 1 \\ \frac{1}{2} \end{array})) = s p a n ((\begin{array}{rcl} - 1 \\ \frac{1}{2} \end{array}))

Wir wissen eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem. Erzeugendensysteme des

ℝ^{2}

sind also

\geq 2

.

Daraus folgt

v_{1}

v_{2}

bilden

k e i n

Erzeugendensystem.

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