Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Vektorraum der Polynome mit reellen Koeffizienten

Vektorraum der Polynome mit reellen Koeffizienten

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Tags: Lineare Unabhängigkeit

Iamanonym1

19:18 Uhr, 15.12.2019

Hallo alle zusammen!

Ich habe leider Schwierigkeiten mit der Aufgabe.
Teil

a)

hab ich schon hingekriegt.
Zu Teil

b)

fällt mir nur ein, dass lineare Unabhängigkeit folgendes bedeutet:

a 1 v 1 +

a2v2+…+ anvn=0
Übertragen auf die Aufgabe

\to

p 0 (x) = 1

p 1 (x) = (x - 1)

p 2 (x) = (x - 1) \cdot (x - 2)

pK (x)

= . .

a \cdot p 0 (x) + b \cdot p 1 (x) + c \cdot p 2 (x) + . .

+

t*pk (x)

= 0

und wie soll ich jetzt weitermachen. Ich hab eine kleine Denkblockade.

Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar

LG

pwmeyer aktiv_icon

19:21 Uhr, 15.12.2019

Hallo,

setze in Deiner Gleichung

a \cdot . .

= 0

zunächst

x = 1,

was folgt? Dann setze

x = 2,

was folgt? Usw.

Gruß pwm

Iamanonym1

20:16 Uhr, 15.12.2019

Danke für diesen Tipp also:
für

x = 1

folgt

1 \cdot a + 0 \cdot b + 0 \cdot c + .

= 0

. also

1 a = 0

für

x = 2

folgt

1 \cdot a + 1 \cdot b + 0 \cdot c + .

= 0

. also

1 b = 0

für

x = 3

folgt

1 \cdot a + 2 \cdot b + 2 \cdot c + .

= 0

. also

2 c = 0 \Leftrightarrow 1 c = 0

für

x = 4

folgt

1 \cdot a + 3 \cdot b + 6 \cdot c + 6 \cdot d + .

= 0

also

6 \cdot d = 0 \Leftrightarrow 1 d = 0

. .

.
also folgt sogesehen die lineare Unabhängigkeit. Wie schreibe ich das Mathematisch korrekt auf?

Iamanonym1

20:26 Uhr, 16.12.2019

Kannst du mir vielleicht einen Ansatz oder ein Tipp für

c)

geben?

pwmeyer aktiv_icon

12:00 Uhr, 17.12.2019

Hallo,

" wie schreibe ich das korrekt auf" Ich würde sagen, das reicht so wie Du es gemacht hast. Formal und allgemein kannst Du es über Induktion formulieren.

Der Ansatz für

c)

ist genauso: Gegeben Polynom

q

gesucht Koeffizienten

a_{i}

mit:

\sum_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot p_{i} = q

Jetzt setzt Du der Reihe nach die

x_{k}

ein und siehst, dass die

a_{i}

eindeutig bestimmt sind. Damit gilt dann die obige Gleichung für

x_{0}, x_{1}, ..., x_{n}

. Aber Polynome vom Höchstgrad

n

sind identische, wenn sie an

n + 1

Stellen übereinstimmen. Also gilt die Gleichung für alle

x

Gruß pwm

Iamanonym1

14:27 Uhr, 17.12.2019

Ich danke dir vielmals :-))

1490273

1490113

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?