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Vektorraum der reellwertigen Funktionen auf R

Lehrer

Vektorräume

Tags: basis, dimension, Erzeugendensystem

youngster aktiv_icon

19:15 Uhr, 14.05.2012

Hallo, könnt ihr mir bei der folgenden Aufgabe helfen?

Im Raum aller reellwertigen Funktionen auf

R

sei

U

der jeweils von den in

a)

bzw.

b)

genannten Funktionen aufgespannte Unterraum:

a) t^{2}, {(t + 1)}^{2}, {(t + 2)}^{2}, {(t + 3)}^{2}

b) sinh 3 t, cosh 3 t, e^{3 t}, e^{- 3 t}

Bestimme die Dimension von

U,

wähle aus den in

a)

und

b)

angegebenen Erzeugendensystemen jeweils eine Basis aus und stelle die übrigen Funktionen als Linearkombination der gewählten Basiselemente dar.

Durch Probieren habe ich für

a)

das Teilergebnis

{(t + 3)}^{2} = t^{2} - 3 \cdot {(t + 1)}^{2} + 3 \cdot {(t + 2)}^{2}

erhalten, so dass ich vermute

dim U = 3

. Aber das ist ja keine wirkliche Lösung.
Im Falle

b)

ist natürlich mit

sinh 3 t = e^{3 t} - e^{- 3 t}

und

cosh 3 t = e^{3 t} + e^{- 3 t}

zu arbeiten, aber mit

e^{3 t}

und

e^{- 3 t}

als Basis scheint mir die Aufgabe doch zu trivial gestellt zu sein.

youngster

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

hagman aktiv_icon

20:22 Uhr, 16.05.2012

b)

ist genau so gemeint - man soll nur die Falle umschiffen, dass ganz anders benannte Funktionen nicht automatisch unabhängig sind. Um ganz sicher zugehen, zeige dass

t \mapsto e^{3 t}

und

t \mapsto e^{- 3 t}

wirklich linear unabhängig sind.

Auch bei

a)

zeige, dass drei von dir gewählte Elemente linear unabhängig sind.

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