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Vektorraum reeller Funktionen mit Unterräumen

Universität / Fachhochschule

Tags: Direkte Summe, Funktionenraum, Gerade Funktion, Ungerade Funktion

Ralf123 aktiv_icon

18:42 Uhr, 11.12.2013

Hallo,

das soll nun definitiv die letzte Aufgabe betr. Summenbildung von Vektorräumen sein, mit der ich das Forum um Rat frage und hoffentlich nicht nerve.

V

sei der Vektorraum aller Funktionen von

ℝ

nach

ℝ, U

der Unterraum aller geraden und

W

der aller ungeraden Funktionen. Zeige

V = U (+) W

Anm.:(+) soll die direkte Summenbildung bedeuten.

Ich weiß natürlich, dass

f

gerade bzw. ungerade ist, wenn

f (- x) = f (x)

bzw.

f (- x) = - f (x)

gilt, komme aber damit nicht weiter.

Es bedankt sich für Hilfestellung

Ralf .

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

20:35 Uhr, 11.12.2013

Hallo,

zeige einfach, dass jede Funktion eindeutig als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion dargestellt werden kann.
Oder ist das nicht das Problem?

Mfg Michael

Ralf123 aktiv_icon

23:01 Uhr, 11.12.2013

Ja natürlich ist das das Problem, Michael,
aber wie kann ich einer Funktion

f (x),

ohne den Funktionsterm zu kennen, ansehen, ob sie gerade oder ungerade oder keins von beiden ist?

Ich versuch es mal so:

F :=

Vektorraum aller Funktionen

ℝ \to ℝ

Dann sind - wie man leicht sieht - die aus den geraden bzw. ungeraden Funktionen bestehenden Mengen

G := {f \in F | \forall x \in ℝ : f (x) = f (- x)}

U := {f \in F | \forall x \in ℝ : f (x) = - f (- x)}

Unterräume von

F

G + U

ist ein Vektorraum, der

U

und

G

als Unterräume enthält

\Rightarrow

{f \in F | \forall x \in ℝ : f (x) = f (- x)} \cup {f \in F | \forall x \in ℝ : f (x) = - f (- x)} \subseteq G + U

G + U = {f \in F | \forall x \in ℝ : f (x) = f (- x) \lor f (x) = - f (- x)}

wobei für jedes

f \in G + U

die Aussage

: f (x) = f (- x) \lor f (x) = - f (- x)

eine für alle

x \in ℝ

wahre Aussage ist, so dass gilt

G + U = F

.

Wegen

U \cap G = {f \in F | \forall x \in ℝ : f (x) = f (- x) \land f (x) = - f (- x)}

\Rightarrow U \cap G = {f \in F | \forall x \in ℝ : f (x) = 0}

\Rightarrow U \cap G = {0}

Somit kann ich

F = G + U

verschärfen in

F = U (+) G

Bitte lasst mich wissen, ob meine Überlegungen oben richtig sind.

Gruß

Ralf

michaL aktiv_icon

18:38 Uhr, 12.12.2013

Hallo,

korrekt aus

f (- x) = f (x) = - f (- x)

folgt

f (- x) = - f (- x) \overset{}{\Leftrightarrow} f (- x) = 0

, d.h.

f (x) = 0

. Die Summe muss also direkt sein.

Problem: Man muss für ein

f

direkt eine Zerlegung in eine Summe einer geraden FUnktion

g

und einer ungeraden Funktion

u

angeben.

Wenn ich hier schreibe, wie das geht, hab ich aber wirklich den größten Teil erledigt.

Schau doch mal, ob du herausfindest, wie sich

x \mapsto e^{x}

derart zerlegen lässt. Wenn man das erst einmal gesehen hat, dann ist alles klar.

Mfg Michael

Ralf123 aktiv_icon

19:40 Uhr, 12.12.2013

Hallo Michael,

was hältst du davon:

Für bel.

f \in F

gilt doch trivialerweise:

g (x) := \frac{1}{2} \cdot (f (x) + f (- x)) \in G

und

u (x) := \frac{1}{2} \cdot (f (x) - f (- x)) \in U

\Rightarrow g (x) + u (x) = f (x)

und damit hätte man jedes

f \in F

als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion dargestellt.

Ist das jetzt gemogelt oder kann man damit weiterkommen ?

Ralf

michaL aktiv_icon

19:54 Uhr, 12.12.2013

Hallo,

nicht gemogelt, sondern genau das, was du brauchst.

Damit bist du im Prinzip auch schon fertig.

Mfg Michael

Ralf123 aktiv_icon

17:00 Uhr, 16.12.2013

Danke für die Hilfe Michael,

Ralf

nina321 aktiv_icon

17:33 Uhr, 18.11.2016

hat sich erledigt

Gast17 aktiv_icon

14:36 Uhr, 18.01.2017

Der Thread ist zwar schon etwas älter nichtsdestotrotz eine kurze Frage. Ich soll nicht zeigen, dass die direkte Summe den VR darstellt, sonder zuerst einmal zeigen, dass es sich bei

G

und

U

um Unterräume von

V

handelt.

Beginnen wir mal mit

G

:

Es gilt zu zeigen, dass der UR unter Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen ist.
Additon: Hier verstehe ich nicht ganz wie ich das zeigen soll..

Es muss gelten

\forall f_{1}, f_{2} \in G : f_{1} + f_{2} \in G

. Beide Funktionen erfüllen die Bedingung

f (- x) = f (x)

, aber ich verstehe nicht inwiefern mir das helfen soll um zu zeigen, dass ihre Addition abgeschlossen ist. Ich meine

f_{1} (x)

ist in

G

und

f_{2} (x)

ist es ebenfalls, so ist doch auch ihre Summe sicher in

G

, oder nicht?

Skalare Multiplikation:
Folgendes soll erfüllt sein:

\forall f \in G \forall λ \in K : λ \cdot f

Und wieder ähnliches Problem wie oben. Ich verstehe nicht ganz wie das nun zeigen soll.

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