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Vektorraum von Polynomen

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

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21:36 Uhr, 25.08.2013

Ich befinde mich in der Prüfungsvorbereitung und gehe verschiedene alte Prüfungen durch. Mit dieser Aufgabe bin ich aber von A bis

Z

überfordert. Kann mir jemand Tipps oder Hinweise zur Lösung geben? Vielleicht auch eher allgemein, im Fall wenn etwas ähnliches kommen sollte.

Sei

V

der reelle Vektorraum der Polynome mit reellen Koeffizienten vom Grade

\leq 3 :

V := {p (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3}, a_{i}

€

R}

a)

Bestimme die Dimension von

V

und beweise, dass die Formel

(p_{1}, p_{2}) := \int (p_{1} (x) p_{2} (x) x^{2} d x, - 1, 1)

eine symmetrische Bilinearform auf

V

definiert.

Hinweis:

\int (p (x) d x, - 1,1) = Σ (a_{i} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{i}}{i + 1}, i = 0, n)

b)

Bestimme die Signatur der obigen symmetrischen Bilinearform.

c)

Finde eine Basis von

V

in welcher die Matrix der Bilinearform diagonal ist.

Ich bedanke mich bereits jetzt für alle, die sich die Mühe machen mir zu helfen.

Gruss

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

22:06 Uhr, 25.08.2013

Hallo,

wo liegt denn das Problem?

Mfg Michael

Luden aktiv_icon

22:25 Uhr, 25.08.2013

Für die Bilinearform muss ich ja folgendes zeigen:

Eine Abbildung

B : V \times W \to K, (v, w) \mapsto B (v, w) = 〈 v, w 〉

heißt Bilinearform, wenn gilt:

〈 v_{1} + v_{2}, w 〉 = 〈 v_{1}, w 〉 + 〈 v_{2}, w 〉

〈 v, w_{1} + w_{2} 〉 = 〈 v, w_{1} 〉 + 〈 v, w_{2} 〉

〈 λ v, w 〉 = λ 〈 v, w 〉

〈 v, w λ 〉 = 〈 v, w 〉 λ

dabei sind

v, v_{1}, v_{2} \in V, w, w_{1}, w_{2} \in W

und

λ \in K

.

Aber ich kann mir es mir irgendwie nicht vorstellen was nun was sein soll und wo ich was einsetzen soll um diese Punkte zu zeigen. Wenn ich das wüsste, muss ich ja nur noch nachrechnen.

michaL aktiv_icon

22:31 Uhr, 25.08.2013

Hallo,

hast du inzwischen 'raus, welche Dimension der Vektorraum hat?

Mfg Michael

Luden aktiv_icon

22:38 Uhr, 25.08.2013

Die Dimension sagt ja wie viele linear unabhängige Basisvektoren ich mindestens brauche um den gesamten Raum aufspannen zu können. Wenn ich raten dürfte wäre meine Antwort 4. Ich brauche ja einen für

x^{0},

einen für

x^{1},

einen für

x^{2}

und einen für

x^{3}

. Aber irgendwie habe ich das Gefühl die Dimension ist eher drei. Ich weiss auch nicht wirklich wo ich die hier "suchen" soll.

michaL aktiv_icon

23:07 Uhr, 25.08.2013

Hallo,

nö, 4 stimmt schon.

Du kannst das Polynom

a x^{3} + b^{2} + c x + d

mit dem "Vektor"

(\begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d \end{array})

identifizieren.

Du hast nun für die symmetrische Bilinearform zwei Möglichkeiten:
Du beweist die notwendigen Formeln anhand der Rechenregeln für Integrale oder du beweist sie, indem du konkret einmal

\int_{- 1}^{1} (a x^{3} + b^{2} + c x + d) (f x^{3} + g x^{2} + h x + j) x^{2} d x

berechnest.

So oder so, du musst wohl oder übel auf die Definition der "Bilinearform" eingehen!

Mfg Michael

Luden aktiv_icon

23:24 Uhr, 25.08.2013

Ah ok. Also ist es Dimension 4 weil ich vier verschiedene

x^{i}

mit

i = 0,1,2,3

hab? also hätte

a_{0} + a_{1} \cdot x + a_{3} \cdot x^{3}

unter den selben Voraussetzungen Dimension 3 oder kommt es nur auf den höchsten Grad an? Du Siehst, ich tu mich etwas schwer im Moment.

Also ich setze stur mein definiertes

p (x)

in das Integral ein uns ersetze die

a_{0}, . .

. durch andere Variablen und rechne das explizit aus. Das hab ich nun gemacht. Das gäbe dann:

\frac{2 \cdot b \cdot g}{7} + \frac{2 \cdot b \cdot j}{5} + \frac{2 \cdot c \cdot f}{7} + \frac{2 \cdot c \cdot h}{5} + \frac{2 \cdot d \cdot g}{5} + \frac{2 \cdot d \cdot j}{3} + \frac{2 \cdot f \cdot {(3)}^{\frac{1}{2}}}{27} + \frac{2 \cdot h \cdot {(3)}^{\frac{1}{2}}}{21}

hmmm... das ist nun doch etwas kompliziert, vor allem da ich nicht weiss wie ich nun weiterfahren soll.

Reicht es denn die bekannten Eigenschaften der Integralrechnung (wie Vertauschbarkeit der Faktoren unter gewissen Umständen) für dieses

p (x)

zu zeigen?

Gruss

michaL aktiv_icon

23:33 Uhr, 25.08.2013

Hallo,

> Ah ok. Also ist es Dimension 4 weil ich vier verschiedene

x_{i}

mit

i = 0, 1, 2, 3

hab? also hätte

a_{0} + a_{1} \cdot x + a_{3} \cdot x^{3}

> unter den selben Voraussetzungen Dimension 3 oder kommt es nur auf den höchsten Grad an? [...]

Ja, unter diesen Umständen (Vektorraum der Polynome höchstens dritten Grades OHNE quadratisches Glied) wäre die Dimension 3.

> Also ich setze stur mein definiertes

p (x)

in das Integral ein uns ersetze die

a_{0}, . . .

durch andere Variablen und rechne
> das explizit aus. Das hab ich nun gemacht. Das gäbe dann:
>
> 2⋅b⋅g7+2⋅b⋅j5+2⋅c⋅f7+2⋅c⋅h5+2⋅d⋅g5+2⋅d⋅j3+2⋅f⋅(3)1227+2⋅h⋅(3)1221

Nein, das ist sicher falsch! Es kommen sicher keine Wurzeln vor! (Sorry, ich hatte keine Lust, bei dieser Formel zu korrigieren, die habe ich nur kopiert, wobei die Formatierungen verloren gingen).

> hmmm... das ist nun doch etwas kompliziert, vor allem da ich nicht weiss wie ich nun weiterfahren soll.
>
> Reicht es denn die bekannten Eigenschaften der Integralrechnung (wie Vertauschbarkeit der Faktoren unter gewissen
> Umständen) für dieses

p (x)

zu zeigen?

Schreib's hier hin, ich sage dir dann, was ok ist und was nicht!

Mfg Michael

Luden aktiv_icon

23:51 Uhr, 25.08.2013

Ok. Ich glaub ich habs mehr oder weniger raus. Nun alle Formeln hier hinzuschreiben. wäre wohl zu viel Aufwand und zu Fehler anfällig. Ich beschreibe kurz was ich machen würde.

Ich will zeigen:

〈 v_{1} + v_{2}, w 〉 = 〈 v_{1}, w 〉 + 〈 v_{2}, w 〉

Also muss ich umschreiben, damit es in meine schreibweise passt:

(p 1, p 2) := \int (p 1 (v_{1} + v_{2}) p 2 (w) x^{2}

d x

,−1,1)

Nun weiss ich, wenn beide Operationen linear sind darf ich die Summe rausnehmen.

(p 1, p 2) := \int ((p 1 (v_{1}) + p 1 (v_{2})) p 2 (w) x^{2}

d x

,−1,1)

Weiter darf ich die Summen trennen:

(p 1, p 2) := \int (p 1 (v_{1}) p 2 (w) x^{2} + p 1 (v_{2}) p 2 (w) x^{2}

d x

,−1,1)

Und ich darf ein zweites Integral setzen:

(p 1, p 2) := \int (p 1 (v_{1}) p 2 (w) x^{2} d x, - 1,1) + \int (p 1 (v_{2}) p 2 (w) x^{2}

d x

,−1,1)

Somit wäre ein Teil gezeigt. Das mache ich nun bis ich alle Eigenschaften der Bilinearform gezeigt habe. Plus noch die eine der symmetrischen Bilinearform also

B (x, y) = B (y, x)

Oder?

Luden aktiv_icon

00:05 Uhr, 26.08.2013

Nun stellt sich noch die Frage der Signatur dieser symmetrischen Bilinearform. Aber dazu müsste ich doch eine explizite Matrixdarstellung dieser Abbildung machen können!? Oder wie finde ich das heraus, bzw. wie würde ich diese Matrix erstellen? mit der explizit ausgerechneten Form des Integrals und dann ausprobieren?

michaL aktiv_icon

00:12 Uhr, 26.08.2013

Hallo,

hier hast du einen kapitalen Bock geschossen:

> Ich will zeigen:
>
>〈v1+v2,w〉=〈v1,w〉+〈v2,w〉
>
> Also muss ich umschreiben, damit es in meine schreibweise passt:
>
> (p1,p2):=∫(p1(v1+v2)p2(w)x2 dx,−1,1)

Nur zu deinem Verständnis:

p_{1}

und

p_{2}

sind die Vektoren. Sie entsprechen also

v_{1}

v_{2}

bzw.

w

.

Die Schreibweise

p_{1} (v_{1} + v_{2})

ist sinnlos!

Da musst du nochmal ran!

Mfg Michael

Luden aktiv_icon

00:25 Uhr, 26.08.2013

Schade, dann hätte ich es nun wenigstens verstanden.

also

p (x)

ist ein Vektor. Aber dann versteh ich es nun überhaupt nicht mehr. Nun wundert es mich auch nicht mehr, wieso ich keine Ahnung von der Aufgabe habe

=)

Also der Vektorraum ist nun von was aufgespannt? Verschiedenen

p (x)

oder verschiedenen

a_{i}

? Und wie sieht so ein

p (x)

nun explizit aus?

a_{0} + a_{1} \cdot x + a_{2} \cdot x^{2} + a_{3} \cdot x^{3}

ist ja nur ein Wert kein Vektor!?

Ich leg mich mal hin und beginne Morgen von vorne, wenn ich dann wirklich weiss was was ist.

Gruss und gute Nacht

michaL aktiv_icon

00:35 Uhr, 26.08.2013

Hallo,

der Vektorraum der Polynom höchstens dritten Grades besteht natürlich aus Polynomen höchstens dritten Grades.
Eine Basis wäre etwa

{1, x, x^{2}, x^{3}}

. Daher ja auch die Dimension 4.

Irgendein (reelles) Polynom höchstens dritten Grades ist übrigend eine Abbildung von

ℝ

nach

ℝ

, für die

x \mapsto a x^{3} + b x^{2} + c x + d

mit reellen

a

b

c

und

d

gilt.

Mache dir klar, WARUM die Polynome höchstens dritten Grades einen Vektorraum bilden. Wenn du das nicht tust, baust du alles weitere auf Sand!

Mfg Michael

Luden aktiv_icon

10:43 Uhr, 26.08.2013

Etwas flach gesagt ist es ein Vektorraum, weil darin die Gesetze der Addition und skalaren Multiplikation gelten und diese Verknüpfungen aus Elementen aus dem Vektorraum geben wieder ein Element im Vektorraum. Und durch die Basis

{1, x, x^{2}, x^{3}}

können alle Elemnte des Vektorraums dargestellt werden. Mein Problem war wohl dabei, dass ich zuletzt immer mit nxn Matrizen gerechnet habe und ich irgendwie nicht verstanden habe, dass dieser Vektorraum nur aus

1 x 1

Basisvektoren besteht. Die Funktion

p (x)

gibt mir nun anstatt einem Vektor der Form

v = {a_{o}, a_{1} \cdot x, a_{2} \cdot x^{2}, a_{3} \cdot x^{3}}

einen Wert für den Vektor an. Soweit ok?

Nun wenn ich das Integral anschaue dann heisst das für mich, dass eigentlich nur noch diese Werte (abhängig von

x)

dastehen, aber keine Vektoren mehr.

Also anstatt

p 1 (x)

steht nun

(a_{o} + a_{1} \cdot x + a_{2} \cdot x^{2} + a_{3} \cdot x^{3})

da. Also könnte ich eigentlich mit den

p 1 (x)

und

p 2 (x)

die Bilinearform zeigen, ohne auf die ausgeschriebene Variante zurück zu greifen!?

Also einfach von:

(p 1, p 2) := \int (p 1 (x) p 2 (x) x^{2} d x,

−1,1)

ausgehen. Wie sieht das aber nun aus wenn ich

< v_{1} + v_{2}, w >

ausrechnen will?

Heisst es dann einfach:

\int ((v 1_{o} + v 1_{1} \cdot x + v 1_{2} \cdot x^{2} + v 1_{3} \cdot x^{3} + v 2_{o} + v 2_{1} \cdot x + v 2_{2} \cdot x^{2} + v 2_{3} \cdot x^{3}) \cdot (w_{o} + w_{1} \cdot x + w_{2} \cdot x^{2} + w_{3} \cdot x^{3}) \cdot x^{2}, - 1,1)

Oder liege ich wieder falsch? Wenn ja, könntest du mir mal

< v_{1} + v_{2}, w >

aufschreiben, damit ich es sehe?

michaL aktiv_icon

16:52 Uhr, 26.08.2013

Hallo,

> Die Funktion

p (x)

gibt mir nun anstatt einem Vektor der Form

v = {a_{o}, a_{1} \cdot x, a_{2} \cdot x^{2}, a_{3} \cdot x^{3}}

einen Wert für den
> Vektor an. Soweit ok?

Nein. Eher so:

v = {a_{o}, a_{1}, a_{2}, a_{3}}

, aber schon besser als vorher.

> Wie sieht das aber nun aus wenn ich

〈 v_{1} + v_{2}, w 〉

ausrechnen will?
>
> Heisst es dann einfach:
>
>

\int ((v_{1 o} + v_{11} \cdot x + v_{12} \cdot x^{2} + v_{13} \cdot x^{3} + v_{2 o} + v_{21} \cdot x + v_{22} \cdot x^{2} + v_{23} \cdot x^{3}) \cdot (w o + w_{1} \cdot x + w_{2} \cdot x^{2} + w_{3} \cdot x^{3}) \cdot x^{2}, - 1, 1)

Um Symmetrie und Linearität zu beweisen, ist noch nicht einmal das nötig.
Das musst du aber selber erarbeiten! Genau darin besteht ja die Übung!

Beachte

〈 p, q 〉 = \int_{- 1}^{1} p (x) \cdot q (x) \cdot x^{2} d x

und schreibe in dieser Notation mal

〈 p, q + r 〉

auf.

Wenn du das wuppst, dann ist die Aufgabe zeimlich einfach.

Mfg Michael

Luden aktiv_icon

19:10 Uhr, 26.08.2013

< p, q + r > = \int (

p(x)⋅ (q(x)+r(x))⋅x^2

d x, - 1,1)

und das selbe noch für

< q + r, p >

wenn das gleich ist hab ich die Symmetrie gezeigt? Und das forme ich dann mit den bekannten Gesetzen für die Integral-Rechnung um?

michaL aktiv_icon

19:18 Uhr, 26.08.2013

Hallo,

bring bitte nicht alles durcheinander!

Symmetrie gilt, wenn die Gleichung

〈 p, q 〉 = 〈 q, p 〉

gilt.
Also formuliere zunächst beide Seiten der (obigen) Gleichung in die Integralschreibweise um und begründe, warum beide Integrale den gleichen Wert haben!

Danach erst weiter denken!

Mfg Michael

Luden aktiv_icon

19:43 Uhr, 26.08.2013

< p, q + r > = \int (

p(x)⋅ (q(x)+r(x))⋅x^2

d x

,−1,1)

soll gleich sein wie:

< p, q > + < p, r > = \int (

p(x)⋅ (q(x))⋅x^2

d x

,−1,1)

+ \int (

p(x)⋅ (r(x))⋅x^2

d x

,−1,1)

Das soll ich zeigen? Stimmt das was ich hier schreibe? und so dann auch die anderen Eigenschaften der Bilinearform?

michaL aktiv_icon

19:59 Uhr, 26.08.2013

Hallo,

ja, ist zwar nicht die Symmetrie, ist (hier) aber nebensächlich.

Übrigens solltest du dir für die Klausur wieder angewöhnen, die Grenzen über und unter das Integralzeichen zu schreiben!

Wenn du die Symmetrie zuerst hast, sparst du dir die Hälfte der Linearität!

Mfg Michael

Luden aktiv_icon

20:06 Uhr, 26.08.2013

Das würde ich eigentlich auch gerne, weiss aber nicht wie ich das hin bekomme. Alles was ich hier in Formeln und so hab, schreibe ich im Text-Modus, da der Editor bei mir nicht geht.

Ok also zuerst Symmetrie zeigen. Naja, wenn man das mal geschnallt hat bis hier hin, dann sollte es auch kein Problem mehr sein die paar Dinge zu zeigen durch einfaches umformen. Danke mal dafür. Ich werde das dann mal noch bei verschiedenen Aufgaben dieses Typs versuchen.

Nun wäre noch:

b)

Bestimme die Signatur der obigen symmetrischen Bilinearform.

c)

Finde eine Basis von

V

in welcher die Matrix der Bilinearform diagonal ist.

Offen: Aber da bin ich schon wieder so hilflos wie bei

a)

. Ich weiss was die Signatur einer Matrix ist, doch hier habe ich keine, beziehungsweise ich weiss nicht wie ich die erstellen könnte. Hast du mir zwei drei Tipps damit ich mich nächstens mal in Ruhe hinsetzen kann um das alleine hinzukriegen?

Gruss und Danke für die Geduld und die Hilfe

michaL aktiv_icon

20:19 Uhr, 26.08.2013

Hallo,

ich würde da zuerst c) machen.
Am besten schreibst du von nun an für das Polynom

a x^{3} + b x^{2} + c x + d

einen Vektor mit den vier Einträgen

a

b

c

bzw.

d

.
Dann suchst du dir eine Basis aus und stellst die zu der symmetrischen Bilinearform gehörigen darstellende Matrix bzgl. der von dir gewählten Basis auf (du musst 10=4+3+2+1 Einträge berechnen).

Dann musst du diese gemäß Hauptachsentransformation in eine Diagonalmatrix umwandeln. Daran kannst du die Signatur ja direkt ablesen, was ja b) wäre.

Mfg Michael

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