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Vektorraum zu Vektorraum über Z2 machbar Beweis

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

Wasteoftime1398 aktiv_icon

19:32 Uhr, 08.10.2017

Halli Hallo,

Ich brüte gerade über folgender Aufgabe:

Sei

(V, +)

eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0. Zeigen Sie, dass man

(V, +)

genau dann zu einem

ℤ_{2}

Vektorraum machen kann, wenn

x + x = 0

für alle x∈V

Ehrlich gesagt verstehe ich nicht so ganz, was genau ich da zeigen soll. Ist es nicht logisch, dass es nur möglich ist, wenn

x + x = 0

ist, da sonst ja

2 x

kein Vielfaches von 2 wäre?

Danke für eure Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

19:38 Uhr, 08.10.2017

Hallo
warum ist

2 \cdot x = x + x

kein Vielfaches von

2 \in ℤ_{5}

Gruß ledum

Wasteoftime1398 aktiv_icon

19:53 Uhr, 08.10.2017

Ja genau das ist es ja, deshalb verstehe ich die Aufgabe ja nicht. Bitte die Frage richtig lesen. Außerdem geht es um

ℤ_{2}

ermanus aktiv_icon

20:24 Uhr, 08.10.2017

Tipp: man benötigt ein Distributivgesetz des Vektorraums:
Sei

V

ein

Z_{2}

-Vektorraum, dann gilt:

0 = 0 \cdot x = (1 + 1) \cdot x = . . .

Wasteoftime1398 aktiv_icon

21:13 Uhr, 08.10.2017

Und was genau beweise ich so? Das sind doch nur die allgemeingültigen Rechenregeln für Vektorräume, oder nicht?

ermanus aktiv_icon

21:16 Uhr, 08.10.2017

Du möchtest zeigen, dass

x + x = 0

ist, also setze die "..." mit dem Distributivgesetz
fort.

Dass man in einem Vektorraum die Vektorraumregeln benutzt, ist doch wohl normal,
wie soll man denn sonst etwas beweisen.

Wasteoftime1398 aktiv_icon

21:26 Uhr, 08.10.2017

Warum zeige ich denn, dass

x + x = 0

ist? Ich dachte, das ist meine Voraussetzung? Ich soll doch zeigen, dass man

(V, +)

zu einem

ℤ_{2}

Vektorraum machen kann.

ermanus aktiv_icon

21:35 Uhr, 08.10.2017

In der Aufgabenstellung steht "... genau dann ..., wenn ...", d.h.
du musst zwei Sachen zeigen:

1. Wenn

(V, +)

eine Vektorraumstruktur über

Z_{2}

besitzt, dann gilt in der
additiven Gruppe

(V, +)

die Gleichung

x + x = 0

für alle

x \in V

.

2. Wenn in der additiven Gruppe

(V, +)

gilt

x + x = 0

für alle

x \in V

,
dann lässt sich

V

zu einem

Z_{2}

-Vektorraum machen.

Wir behandeln gerade Punkt 1.

ledum aktiv_icon

21:39 Uhr, 08.10.2017

Hallo
sorry, ich hatte die Antwort davor nicht gesehen.
genau dann heisst

a)

wenn

x + x = 0

ist, kann ich es zu einem

ℤ_{2}

VR machen. (welche Basis hat der?)

b)

wenn ich es zu einem VR mache ist

x + x = 0

im ersten Fall musst du zeigen, dass so ein VR entsteht, im zweiten hast du ihn und musst zeigen dass

x + x = 0

Gruß ledum

ermanus aktiv_icon

21:43 Uhr, 08.10.2017

@ledum: prima, da sind wir uns ja einig ;-) Schöne Grüße ermanus

Wasteoftime1398 aktiv_icon

23:04 Uhr, 08.10.2017

Ich verstehe echt nicht... Die Basis wäre doch

\vec{x} = x_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ . \\ . \\ 0 \end{matrix}) + x_{2} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ . \\ . \\ 0 \end{matrix}) + ... + x_{n} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ . \\ . \\ 1 \end{matrix})

Aber wie soll mir das weiterhelfen?
Könnte jemand den Beweis vlt mal ganz detailliert aufschreiben und die Einzelschritte erklären? Wir haben soetwas in der Uni bislang noch nie bewiesen, da wir diese Woche erst die Themen Vektorräume und Basen behandelt haben,vlt fällt es mir deshalb so schwer. Ich bin auf jeden Fall gerade am verzweifeln...

ermanus aktiv_icon

23:29 Uhr, 08.10.2017

Das mit der Basis führt hier nicht weiter, da eine solche wer weiß wie aussehen kann.
Lass uns doch bei meiner Nr. 1 bleiben (das entspricht b) bei ledum):

Wenn du eines der Distributivgesetze anwendest, bekommst du:

. . . = (1 + 1) \cdot x = 1 \cdot x + 1 \cdot x = x + x

also

x + x = 0

.
Hierbei haben wir

1 \cdot x = x

verwendet, was in jedem Vektorraum gilt.

Nun zu 2.: wir haben jetzt nur eine additive Gruppe

(V, +)

mit der
Eigenschaft, dass

x + x = 0

ist für alle

x \in V

.
Es gibt also noch keine Multiplikation mit Skalaren; die müssen wir
also erst "erfinden", damit wir einen Vektorraum erhalten.

Unser Skalarkörper soll

Z_{2} = {0, 1}

sein. Wir müssen also definieren,
was

0 \cdot x

und

1 \cdot x

bedeuten soll. Nun, wir machen das natürlich so,
wie es sich anbietet:

0 \cdot x := 0

und

1 \cdot x := x

für alle

x \in V

.

Wir müssen jetzt nachweisen, dass mit dieser Skalarmultiplikation aus

V

ein Vektorraum entsteht, d.h. wir müssen alle Vektorraum-Regeln, in denen
die Multiplikation mit Skalaren vorkommt, prüfen.

Welche Regeln (Vektorraum-Axiome) sind das?

Wasteoftime1398 aktiv_icon

23:51 Uhr, 08.10.2017

Ich schätze mal, ich muss dann die ganzen Regeln durch Umformen miteinander verbinden?

ermanus aktiv_icon

00:14 Uhr, 09.10.2017

Oh prima! Deine SM1) bis SM4) sind genau das, was wir prüfen müssen.
Lass uns mal SM1) anschauen:

(a b) \cdot x = a \cdot (b \cdot x)

.

Wie können wir das prüfen?

Da nur

a, b \in {0, 1}

in Frage kommen, gibt es 4 Möglichkeiten:

(0 \cdot 0) \cdot x = 0 \cdot x = 0

und

0 \cdot (0 \cdot x) = 0 \cdot 0 = 0

(1 \cdot 0) \cdot x = 0 \cdot x = 0

und

1 \cdot (0 \cdot x) = 1 \cdot 0 = 0

(0 \cdot 1) \cdot x = 0 \cdot x = 0

und

0 \cdot (1 \cdot x) = 0 \cdot x = 0

(1 \cdot 1) \cdot x = 1 \cdot x = x

und

1 \cdot (1 \cdot x) = 1 \cdot x = x

.

Also ist hier alles OK!

SM2) ist nach Definition

1 \cdot x := x

erfüllt.

SM3) und SM4) überlasse ich dir: du siehst ja nun, wie man es machen kann :-)
Bei SM4) kommt unsere Voraussetzung

x + x = 0

zum Tragen.

Gruß ermanus

Wasteoftime1398 aktiv_icon

00:30 Uhr, 09.10.2017

Vielen lieben Dank, ich glaube, jetzt habe ich es tatsächlich verstanden! Danke nochmal!
LG!

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