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Vektorrechnung, Aufgabe mit Schiffen

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Vektor, Vektorrechnung

lala666666 aktiv_icon

17:35 Uhr, 23.10.2013

Hallo :-)

Ich habe folgende Hausaufgabe:
Auf einem See kreuzen sich die Routen zweier Fähren

F 1

und

F 2

.
Die Fähre

F 1

fährt in

40

Minuten mit konstanter Geschwindigkeit gradlinig vom Ort A (16\4) zum Ort

B

(12\20).
Die Fähre

F 2

fährt mit konstanter Geschwindigkeit von

25

km/h vom Ort

C

(4\0
) zum Ort

D

(24\15).

Wo befindet sich die Fähre

F 1

eine halbe Stunde nach Verlassen des Ortes A?

Ich habe leider keine Ahnung was ich machen soll...

Also, die Strecke, die die Fähre in

40

Minuten fährt müsste doch der Betrag von Vektor AB sein, dann muss man das nur irgendwie auf

30

Minuten runter rechnen..braucht man dafür einen Einheitsvektor?

Danke für eure Hilfe :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

prodomo aktiv_icon

17:56 Uhr, 23.10.2013

Du hast leider nicht gepostet, ob das Koordinatensystem in km gerechnet wird.
Wenn das so ist, musst du zunächst beide Bewegungen in die gleiche Systematik bringen, also bei der zweiten Fähre die Fahrzeit bestimmen. Dazu brauchst du die Entfernung

s

(Pythagoras

!),

um mit der Geschwindigkeit die Fahrzeit über

t = \frac{s}{v}

zu ermitteln. Dann kannst du beide Kurse als Geraden formulieren, wobei der Parameter

t

die Fahrzeit angibt.
Für die erste Fähre musst du den Verbindungsvektor

(\begin{matrix} 12 \\ 20 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 16 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 4 \\ 16 \end{matrix}) \in 40

gleiche Abschnitte zu je

1 min

teilen, dann ergibt sich

\vec{x} = (\begin{matrix} 16 \\ 4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 0,1 \\ 0,25 \end{matrix}), t

in Minuten. Wenn du die Fahrzeit von Nr.2 ausgerechnet hast, machst du das dort ebenso.

Femat aktiv_icon

18:36 Uhr, 23.10.2013

@ prodomo
hoppla, du ahnst wohl, dass da noch eine zweite Frage kommen wird.
Die einzige Frage, die da steht, kann man wohl mit Dreisatzüberlegung beantworten.
Für die Strecke AP brauchts nur

\frac{30}{40}

der Strecke AB

\frac{30}{40}

ist

\frac{3}{4}

von AB also von

(- 4; 16)

wird

(- 3; 12)

Das addiert zu Position

A (16; 4)

(16; 4) + (- 3; 12) = (13; 16)

Also nach

30

Minuten Position

(13; 16)

lala666666 aktiv_icon

18:56 Uhr, 23.10.2013

Danke!!! So stimmt es, ich war schon am verzweifeln :-D)

Es gibt noch eine andere Teilaufgabe, die habe ich noch nciht probiert aber mein Bruder meinte die ist schwer...

Beide Fähren verlassen gleichzeitig die Orte A bzw. C. Wie viele Minuten nach der Abfahrt kommen sich die beiden Fähren am nächsten? Wie weit sind sie voneinander entfernt?

Ich versuche es erstmal, aber ich denke nicht, dass ich es hinbekomme...

lala666666 aktiv_icon

19:23 Uhr, 23.10.2013

Ja ich bekomme es nicht hin... naja zur Not wird es unser Lehrer morgen schon erklären

Femat aktiv_icon

22:40 Uhr, 23.10.2013

Schau mal hier

www.digitaltronic.de/kb/Vektor_Faehren.pdf

Aber Achtung, die Koordinaten von

D

unterscheiden sich

prodomo aktiv_icon

07:00 Uhr, 24.10.2013

Ja, natürlich musste die Frage nach dem möglichen Zusammenstoß bzw. der geringsten Entfernung noch kommen. In der

11

. Klasse eines Gymnasiums ist diese zweite Frage völlig angemessen.
@lala: dein Bruder meinte, die sei schwer....Etwas mehr Zutrauen in die eigenen Möglichkeiten täte dir gut. Wenn du meinem Tip gefolgt wärest, hättest du

(\begin{matrix} 24 \\ 15 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 20 \\ 15 \end{matrix})

gefunden. Dieser Vektor hat die Länge

\sqrt{20^{2} + 15^{2}} = \sqrt{625} = 25

. Da die zweite Fähre

25

Kilometer pro Stunde fährt, braucht sie genau 1 Stunde

= 60 min

für die Fahrt. Teilt man

(\begin{matrix} 20 \\ 15 \end{matrix})

durch

60,

so ergibt sich

(\begin{matrix} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} \end{matrix})

. Also gilt für die erste Fähre

{\vec{x}}_{1} = (\begin{matrix} 16 \\ 4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 0,1 \\ 0,25 \end{matrix})

und für die zweite

{\vec{x}}_{2} = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} \end{matrix})

. Der Abstand der beiden Fähren zu jedem Zeitpunkt

t

ist durch die Differenz dieser

\vec{x}

gegeben, das ist

\vec{d} = (\begin{matrix} 12 \\ 4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - \frac{13}{30} \\ 0 \end{matrix})

. Wann dieser Vektor seine kürzeste Länge erreicht, kann man mit einer simplen Überlegung feststellen. Die zweite Komponente ist konstant

4,

die erste ändert sich in Abhängigkeit von

t

. Ihr kleinstmöglicher Wert ist

0,

dazu muss

t = \frac{360}{13}

gelten. Dann ist der Abstand schlicht 4.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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