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Vektorrechnung: Geradenschar

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Schar, Vektorrechnung

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09:53 Uhr, 20.11.2010

Hallo Leute. Ich bin gerade aktiv bei der Klausurvorbereitung und komm mit den blöden Scharen nicht klar

\land

Gegeben ist die Gerade

g

und die Geradenschar ha durch die Gleichungen

g : x = (2; 1; - 4) + r (- 4; 3; 1)

und ha:

x = (6; - 2; 5) + s (- a; 3; a - 3)!

a)

Gib 2 weitere Gleichungen an, die die Gerade

g

beschreiben.

b)

Gib die Gleichungen von 2 beliebigen Geraden an, die zur Schar ha gehören!

c)

Für welches a gilt:

g | |

ha? Prüfe für diesen Fall, ob die Geraden identisch sind.

d)

Für welches a schneiden sich

g

und eine Gerade ha genau in einem Punkt?

e)

Für welche a schneiden die Geraden der Schar eine der Koordinatenachsen? Gib alle derartigen Schnittpunkte an!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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10:08 Uhr, 20.11.2010

Hallo!

Du kannst entweder einen weiteren Punkt auf g suchen (wähle z.B. r = 1) und diesen als neuen Ortsvektor nehmen. Oder Du nimmst einfach Vielfache des Richtungsvektors als neuen Richtungsvektor. Da der Aufgabensteller sich nicht weiter einschränkt, hast Du hier die künstlerische Freiheit - also mach es so einfach wie möglich:

Im ersten Fall habe ich den Richtungsvektor mit -1 multipliziert, im zweiten mit r=1 einen neuen Ortsvektor bestimmt:

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ - 4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} \begin{matrix} 4 \\ - 3 \end{matrix} \\ - 1 \end{matrix}) o d e r g : \vec{x} = (\begin{matrix} \begin{matrix} - 2 \\ 4 \end{matrix} \\ - 3 \end{matrix}) + u \cdot (\begin{matrix} \begin{matrix} - 4 \\ 3 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix})$

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10:18 Uhr, 20.11.2010

Auch hier hast Du alle Freiheiten. Nimm einfach a = 0 und a = 1 und setze dies in die Geradengleichung ein - schon hast Du zwei Schargeraden.

Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind. Also muss gelten:

$(\begin{matrix} \begin{matrix} - 4 \\ 3 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix}) = k \cdot (\begin{matrix} \begin{matrix} - a \\ 3 \end{matrix} \\ a - 3 \end{matrix})$

Wenn wir diese Vektorgleichung zeilenweise betrachten, sehen wir aus Zeile 2, dass k=1 sein muss, und damit aus Zeile 1 die Lösung a = 4. Zeile 3 bestätigt dies (sonst gäbe es keine parallele Schargerade zu g!).

Wären nun g und $h_{4}$ identisch, müsste der Aufhängepunkt von g mit $h_{4}$ darstellbar sein:

$(\begin{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ - 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} 6 \\ - 2 \end{matrix} \\ 5 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} \begin{matrix} - 4 \\ 3 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix})$

Aus Zeile 1 und 2 folgt s=1. Dies eingesetzt in Zeile 3 gibt aber einen Widerspruch. Also sind die beiden Geraden echt parallel und nicht identisch.

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10:40 Uhr, 20.11.2010

Wir setzen die beiden Geraden gleich:

$(\begin{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ - 4 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} \begin{matrix} - 4 \\ 3 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} 6 \\ - 2 \end{matrix} \\ 5 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} \begin{matrix} - a \\ 3 \end{matrix} \\ a - 3 \end{matrix})$

Umgeformt:

$- 4 r + a \cdot s = 4 3 r - 3 s = - 3 r - (a - 3) s = 9$

Gleichung (1) + (3) ergibt:

$- 3 r + 3 s = 13 b z w . 3 r - 3 s = - 13$

Wenn wir dies mit Gleichung (2) vergleichen, sehen wir sofort den Widerspruch. Es gibt also keine Gerade der Geradenschar, die g genau in einem Punkt schneidet. Geometrisch betrachtet sind die Schargeraden zu g entweder parallel oder windschief.

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11:14 Uhr, 20.11.2010

Schnittpunkt mit der $x_{1}$ -Achse:

$k \cdot (\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} 6 \\ - 2 \end{matrix} \\ 5 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} \begin{matrix} - a \\ 3 \end{matrix} \\ a - 3 \end{matrix})$

Und daraus das LGS:

$k + a s = 6 - 3 s = - 2 \Rightarrow s = \frac{2}{3} 3 s - a s = 5$

------------------------

Aus (3) folgt $a = - \frac{9}{2}$ und aus (1) $k = 9$ . Der Schnittpunkt ist somit $S_{1} (9 | 0 | 0)$

Schnittpunkt mit der $x_{2}$ -Achse:

$k \cdot (\begin{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} 6 \\ - 2 \end{matrix} \\ 5 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} \begin{matrix} - a \\ 3 \end{matrix} \\ a - 3 \end{matrix})$

$a s = 6 k - 3 s = - 2 3 s - a s = 5$

------------------------

(1) + (3) ergibt $s = \frac{11}{3}$ . In (2) eingesetzt erhalten wir k=9, und aus (1) ergibt sich dann $a = \frac{18}{11}$ . Also ist der Schnittpunkt $S_{2} (0 | 9 | 0)$ .

Schnittpunkt mit der $x_{3}$ -Achse:

$k \cdot (\begin{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} 6 \\ - 2 \end{matrix} \\ 5 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} \begin{matrix} - a \\ 3 \end{matrix} \\ a - 3 \end{matrix})$

Analog zu oben ergibt sich: $s = \frac{2}{3}; a = 9 u n d k = 9$ . Folglich $S_{3} (0 | 0 | 9)$

StirbOderFriss aktiv_icon

13:07 Uhr, 26.11.2010

Hast du irgendwelche Bilder eingefügt oder kann ich das wirklich nicht lesen? :-D) Weil bei

d)

häng ich schon wieder fest ohne Lösungsweg xD

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13:08 Uhr, 26.11.2010

Vergiss es, hat sich erledigt xD

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