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Vektorrechnung Punkt um 90° drehen

Schüler

Tags: Punkt von einer Ebene E auf eine 90° verdrehte Ebene projezieren

PapaBarny aktiv_icon

20:21 Uhr, 24.09.2023

siehe Aufgabe und Lösungsansatz im Anhang

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

21:26 Uhr, 24.09.2023

a) b)

und

c)

sind richtig und auch der grundsätzliche Ansatz bei

d)

stimmt.

Der Drehpunkt

M

ist tatsächlich der Mittelpunkt der Strecke

P Q,

allerdings nur, weil, wie in

a)

gezeigt,

\bar{P R} = \bar{Q R}

gilt.

Aber was wolltest du mit der Gleichung unter

(4)

berechnen? So wie du das angesetzt hast könntest du damit nur den Parameter

r

für einen Punkt auf der Geraden

g

finden, welcher vom Ursprung(!) den Abstand

\sqrt{2}

hat und so einen Punkt scheint es eben nicht zu geben.

Wenn du von einem Punkt

M

weg auf einer Geraden

g

den Abstand

\sqrt{2}

abtragen möchtest, müsstest du

\vec{O R'} = \vec{O M} \pm \sqrt{2} \cdot \vec{a_{0}}

rechnen, wobei

\vec{a_{0}}

der normierte (Länge

1)

Richtungsvektor der Geraden ist, bei dir ist

\vec{a_{0}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

.
EDIT: FALSCH! Ich hatte nicht bemerkt, dass du den Abstand

\sqrt{2}

fälschlicherweise in Richtung

\vec{n}'

und nicht in Richtung

\vec{n}

abzutragen versucht hast. Natürlich muss der Abstand

\sqrt{2}

von

M

aus in Richtung von

\vec{n},

dem Normalvektor der Ebene

E

abgetragen werden und nicht in Richtung

\vec{n'}

und daher ist

\vec{a_{0}} = \frac{1}{3} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 4 \end{matrix})

Die Verwirrung entstand, weil du in deiner Zeichnung die Bezeichner

\vec{n}

und

\vec{n}'

vertausct hast.
Siehe auch die nachstehende Antwort von Respon, die mich bewog, die meine nochmals zu überprüfen ;-)

Die Gleichung deiner Geraden müsste also richtigerweise lauten

\vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 6 \\ 4 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix})

Du kannst natürlich schon die Abstandsformel verwenden, so wie du es versucht hast, nur muss eben der Abstand von

M \sqrt{2}

betragen und nicht vom Ursprung.

| \vec{x} - \vec{O M} | = \sqrt{2}

| (\begin{matrix} 1 + 2 r \\ 6 - 2 r \\ 4 + r \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 6 \\ 4 \end{matrix}) | = \sqrt{2}

\sqrt{{(2 r)}^{2} + {(- 2 r)}^{2} + r^{2}} = \sqrt{2}

führt natürlich auch auf die Lösungen

r = \pm \frac{\sqrt{2}}{3}

und damit auf die beiden möglichen Lagen von

R'

Respon

21:52 Uhr, 24.09.2023

E : 2 \cdot x - 2 \cdot y + z = - 6

n_{E} = (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix})

d = \sqrt{2}

M (1 | 6 | 4)

\vec{O R_{1}} = \vec{O M} + \frac{\vec{n_{E}}}{| \vec{n_{E}} |} \cdot d

\vec{O R_{2}} = \vec{O M} - \frac{\vec{n_{E}}}{| \vec{n_{E}} |} \cdot d

( gerundet

R_{1} (1,94 | 5,06 | 4,47)

bzw.

R_{2} (0,06 | 6,94 | 3,53)

PapaBarny aktiv_icon

22:19 Uhr, 24.09.2023

Vielen Dank erstmal.
Deine Formel liefert das richtige Ergebnis - echt klasse.
Aber wie kommst du darauf?

PapaBarny aktiv_icon

22:33 Uhr, 24.09.2023

Hallo Roman-22
danke jetzt, nach deiner Korrektur, hab ich es verstanden.
Sorry für die falsche Skizze und somit der falschen Geradengleichung

Echt klasse Antwort!!!

ledum aktiv_icon

19:42 Uhr, 26.09.2023

Hallo
bitte hake Fragen ab, wenn sie erledigt sind.
Gruß ledum

PapaBarny aktiv_icon

19:57 Uhr, 26.09.2023

Würde ich gerne - ich weiß nicht wo oder wir???

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