Vektorrechnung->Skalarprodukt->berechnung Strecke

Hallo, zur vorbereitung auf meine Arbeit habe ich mir eine Textaufgabe zum Skalarprodukt vorgenommen: "...

Eine Walze wird mit einer Zugmaschine über eine Rampe auf einen Anhänger gezogen. Der Vektor ${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)}$ beschreibt den Weg der Walze. Die mittlere Seilkraft ${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ beträgt 12 kN und wirkt unter einem Winkel von ${\displaystyle \mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=8}$

a)Berechnen Sie die Weglänge der Walze

b)Berechnen sie die verrichtete Arbeit W

..."

Mein Ansatz war Follgender:

Die Verrichtet Arbeit W sollte in diesem Fall doch gleich dem Betrag des Vektors t (also |${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$|)* dem Betrag des Vektor m sein odeR? . Zur erläuterung:

|${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{{\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}}$|= |${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$|*cos(${\displaystyle \mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$)

W = |${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{{\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}}$| * |${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$|

W=${\displaystyle \left|\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right|*|\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}|*\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

In diesem Fall wäre dann also:

${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ und ${\displaystyle \mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left|\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right|}$ In der mini Skizze ist der Vektor t mit einem schwarzen Pfeil von der Mitte der Walze Parallel zur Rampe vom Anfang der Rampe bis zum Ende dargestellt.)

Also wäre dann die Strecke $$\begin{gathered} {\displaystyle \left|\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right|=\sqrt{4\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} \\ \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=4,47} \end{gathered}$$ . Stimmt das alles soweit? Bin mir leider (kurz vor der Arbeit schreibe Morgen) noch sehr unsicher!

also Antwort a) Die Weglänge der Walze beträgt 4,47 m

und b) $$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{W<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left|\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right|*|\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}|*\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right); \\ \mathrm{W<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=12*4,47*\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(8\right); \\ \mathrm{W<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=53,118\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{W<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} \end{gathered}$$

Mein Frage: Habe ich mich total verrant oder ist das richtig so? Ein kurzes Ergebniss zur Überprüfung würde mir sehr helfen.