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Vektorrechnung: Textaufgaben, Ebene

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: eben, Vektor

StirbOderFriss aktiv_icon

16:59 Uhr, 09.11.2010

Also, Donnerstag wieder Test, vorher Übungsaufgaben und ich seh wieder nicht durch ;-)

Das erste:
Ein Motorschiff und ein Hubschrauber bewegen sich geradlinig gleichförmig. Um $0.00$ Uhr befinden sich das Motorschiff im Punkt $S 0 (1; 1; 0)$ und der Hubschrauber im Punkt $H 0 (19; 5; 0,5)$ . Um $0.10$ Uhr befinden sich das Motorschiff im Punkt $S 10 (3; 2; 0)$ und der Hubschrauber im Punkt $H 10 (14; 5; 0,5)$ . (KO-Einheiten: 1km)

a)Stelle eine Parametergleichung für die Bahn des Motorschiffes und die Bahn des Hubschraubers auf!
$b)$ Berechne die Entfernung, die Motorschiff und Hubschrauber um $0.10$ Uhr voneinander haben!
$c)$ Berechne die Entfernung, die Motorschiff und Hubschrauber um $1.00$ Uhr haben werden!

Also bei $a)$ weiß ich nicht, wie man das allgemein machen soll - da man ja 2 Zeitvorgaben hat. Da weiß ich nicht, wie man das generell ausdrücken muss. Bei $b$ und $c$ weiß ich nicht, wie man da jeweils die Entfernung berechnet xD Und auch wie man da auf bei $1.00$ Uhr hinkommen soll...

Zweite Überraschung:
Gegegeben sind Trapeze mit den Eckpunkten $A (0; 0); B (4 a; 0),$ C(3a;a√3 und $D (a;$ a√3).
$a)$ Berechne die Länge der Seiten AD und BC!
$b)$ Berechne den Parameter a für den Fall, dass das Trapez den Flächeninhalt A=9√3 FE besitzt und der Winkel DAC=60° ist!

Hier weiß ich nicht, ob man bei a das a wirklich berechnen soll oder ob das sozusagen eine "Schar" ist. Und bei $b$ hab ich keinerlei Ansatz xD

Letzter Spaß:

$X$ (Element) $R$ und die Punkte $A (\frac{2}{0} / - 8)$ und $B (\frac{1}{- 1} / - 4)$ gegeben.
$a)$ Zeige, dass A und $B$ auf einer zu $g$ parallelen, aber von $g$ verschiedenen Gerade $h$ liegen!
Da weiß ich nicht, wie man auf die 2 Geraden kommen soll :-D)

Ich wäre für jeden Denkanstoß dankbar :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

maxsymca

17:42 Uhr, 09.11.2010

Dann stell doch mal die zum Hubschrauber $g (h)$ und zum Schiff $g (m)$ gehörende Geradengleichung auf...
Je 2 Punkte definieren eine Gerade:

StirbOderFriss aktiv_icon

18:52 Uhr, 09.11.2010

Hm, also versucht hab ich's mal:

$x 1 : (1; 1; 0) + t (18; 4; 5)$

$x 2 : (3; 2; 0) + s (11; 3; 0,5)$

Und jetzt? :-D)

maxsymca

20:47 Uhr, 09.11.2010

Baust DU die richtigen Geraden zusammen:
Seien $A, B$ zwei Punkte auf der Geraden, dann ist
$g : A + t \cdot (B - A)$
Schiff durch $S 0$ und $S 10,$ der Heli durch $H 0$ und $H 10$ ergibt

dann entspricht $t = 1$ einer Zeitspanne von $10$ Minuten, welches $t$ ist dann für $60$ Minuten anzusetzen?

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22:41 Uhr, 09.11.2010

Hi!

Zur ersten Aufgabe: Du stellst die beiden Geradengleichungen für S und H auf:

$S_{t} : \vec{x} = \vec{O S_{0}} + t \cdot \vec{S_{0} S_{10}}$

(analog für $H_{t}$ )

also:

$S_{t} : \vec{x} = (\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix}) + t^{'} \cdot (\begin{matrix} \begin{matrix} 3 - 1 \\ 2 - 1 \end{matrix} \\ 0 - 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix}) + t^{'} \cdot (\begin{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix})$

Günstig für c) ist, wenn t so dimensioniert wird, dass man gleich Minuten einsetzen kann:

$S_{t} : \vec{x} = (\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix}) + \frac{t}{10} \cdot (\begin{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix})$

$H_{t} : \vec{x} = (\begin{matrix} \begin{matrix} 19 \\ 5 \end{matrix} \\ 0, 5 \end{matrix}) + \frac{t}{10} \cdot (\begin{matrix} \begin{matrix} - 5 \\ 0 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix})$

Um 0.10 Uhr ist das Schiff in S_10 und der Hubschrauber in H_10. Die Entfernung ist die Länge des Vektors vom einen zum anderen Punkt:

$\vec{S_{10} H_{10}} = (\begin{matrix} \begin{matrix} 14 - 3 \\ 5 - 2 \end{matrix} \\ 0, 5 - 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} 11 \\ 3 \end{matrix} \\ 0, 5 \end{matrix})$

$d = | \vec{S_{10} H_{10}} | = \sqrt{121 + 9 + 0, 25} \approx 11, 41 k m$

Um 1.00 Uhr sind 60 Minuten vergangen. Um die jeweiligen Punkte von Schiff und Hubschrauber zu bekommen, muss nur t=60 in die Geradengleichungen von a) eingesetzt werden:

$S_{60} : \vec{x} = (\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix}) + \frac{60}{10} (\begin{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} 13 \\ 7 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix})$

$H_{60} : \vec{x} = (\begin{matrix} \begin{matrix} 19 \\ 5 \end{matrix} \\ 0, 5 \end{matrix}) + \frac{60}{10} (\begin{matrix} \begin{matrix} - 5 \\ 0 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} - 11 \\ 5 \end{matrix} \\ 0, 5 \end{matrix})$

Der Abstand berechnet sich wie in b):

$\vec{S_{60} H_{60}} = (\begin{matrix} \begin{matrix} - 11 - 13 \\ 5 - 7 \end{matrix} \\ 0, 5 - 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} - 24 \\ - 2 \end{matrix} \\ 0, 5 \end{matrix})$

$d_{60} = \sqrt{576 + 4 + 0, 25} \approx 24, 09 k m$

Vielleicht mach ich nachher noch etwas weiter ;-)

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23:13 Uhr, 09.11.2010

Zweite Aufgabe:

a ist Parameter - den kannst Du nicht ausrechnen. Also ganz allgemein die Vektoren und deren Längen ausrechnen:

$\vec{A D} = (\begin{matrix} a - 0 \\ a \sqrt{3} - 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a \\ a \sqrt{3} \end{matrix})$

$| \vec{A D} | = \sqrt{a^{2} + 3 a^{2}} = \sqrt{4 a^{2}} = 2 a$

$\vec{B C} = (\begin{matrix} 3 a - 4 a \\ a \sqrt{3} - 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - a \\ a \sqrt{3} \end{matrix})$

$| \vec{B C} | = \sqrt{{(- a)}^{2} + 3 a^{2}} = \sqrt{4 a^{2}} = 2 a = | \vec{A D} |$

Flächeninhalt Trapez:

$A = \frac{a + c}{2} \cdot h$

wobei a und c die beiden parallelen Seiten sind und h die Höhe ist. Hier sind AB und CD die parallelen Seiten (beide haben jeweils die gleiche y-Komponente). Warum der Winkel DAC bei Dir angegeben ist, weiß ich nicht - er bringt für die Lösung der Aufgabe nichts. Wenn Du Dir das Trapez mal skizzierst (z.B. für a=1), siehst Du, dass die Höhe immer $a \sqrt{3}$ ist (nämlich die y-Komponente von C und D).

Alles eingesetzt:

$\vec{A B} = (\begin{matrix} 4 a \\ 0 \end{matrix}) u n d \vec{C D} = (\begin{matrix} - 2 a \\ 0 \end{matrix})$

$A = \frac{| \vec{A B} | + | \vec{C D} |}{2} \cdot a \sqrt{3} = 9 \sqrt{3}$

$\frac{4 a + 2 a}{2} \cdot a = 9$

$3 a^{2} = 9$

$a = \pm \sqrt{3}$

BeeGee aktiv_icon

23:18 Uhr, 09.11.2010

Zu Deinem "letzten Spaß":

Wo ist die Gerade g? Die hast Du nicht angegeben. Die Punkte A und B liegen auf der Geraden h:

$h : \vec{x} = (\begin{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \\ - 8 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} \begin{matrix} 1 - 2 \\ - 1 - 0 \end{matrix} \\ - 4 + 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \\ - 8 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} \begin{matrix} - 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ 4 \end{matrix})$

maxsymca

10:11 Uhr, 10.11.2010

Wenn eine Frage unter dem Stichwort "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." gestartet wurde, dann empfinde ich es als sehr schlechten Stil, wenn Du in der Erarbeitungsphase
$a)$ die Frage einfach an Dich reisst und noch dazu
$b)$ eine Komplettlösung postest
wo ist jetzt der Lerneffekt für die Fragestellerin auf dem von ihr bereits angedachten Lösungsweg?

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11:43 Uhr, 10.11.2010

@maxsymca:

$a)$ habe ich nichts an mich gerissen, sondern meinen Lösungsvorschlag zur Diskussion gestellt.

$b)$ glaube ich nicht, dass die Fragestellerin viel Zeit für eine lange Erarbeitungsphase hat, wenn sie am Donnerstag einen Test schreiben soll. Ich persönlich hatte mit Hilfe von Musterlösungen, die ich kritisch hinterfragt und teilweise für mich optimiert habe, immer den besten Lerneffekt - bloßes Abschreiben nützt natürlich nichts, aber diese Reife setze ich voraus.

Was für sie den besten Lerneffekt bietet und welches Angebot sie nutzt, kann sie ja immer noch selbst entscheiden.

StirbOderFriss aktiv_icon

17:08 Uhr, 10.11.2010

Damit ihr euch nicht die Köppe einschlagt: da ich den Test schon morgen schreibe, isses für mich angenehmer, wenn mir jemand auf diese Weise auch hilft - und ich habe alles verstanden, wurde ja super erklärt $=)$

Und die Gerade $g$ lautete übrigens (überlesen, sorry): $x =$
$(12 | 4 | 0) + t (1 | 1 | - 4) - \to$ sorry, aber der nimmt meine komische Formel mit den Codes nicht :-D)

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17:23 Uhr, 10.11.2010

Dann wähle aber das nächste Mal bitte direkt die entsprechende Option, dass du die Komplettlösung willst, denn man kann immer nur danach gehen, was oben steht und nicht jeder interpretiert sowas wie "Ach egal, ich warte nicht bis sie meinem Vorposter antwortet, ich poste lieber meine Komplettlösung, die ihr eh viel mehr helfen wird" hinein ;-)
Zum Abschluss kannst du ja noch posten wie du nun bei deiner letzte Aufgabe vorgegangen bist.
Dann ist alles komplett und man kann den Thread schließen :-)

BeeGee aktiv_icon

18:12 Uhr, 10.11.2010

Nochmal zum "letzten Spaß": Jetzt hast Du ja g angegeben und kannst die Richtungsvektoren von g und meiner Geraden h vergleichen: Du siehst, dass sie parallel sind. Jetzt kannst Du noch versuchen, den Punkt A in die Gleichung von g einzusetzen, und Du wirst sehen, dass Du für t keine Lösung findest. D.h. A liegt nicht auf g - und somit B auch nicht, da die Gerade durch (AB) zu g parallel ist. Damit ist auch der Teil gelöst.

Viel Glück beim Test morgen!

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