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Vektorrechnung -Trapez mit fehlendem 4.Punkt

Schüler Gymnasium,

Tags: Trapez, Vektor

Horus92 aktiv_icon

20:08 Uhr, 02.05.2020

Hallo!

Frage für Klassenstufe

11 :

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABCD.
AD und BC sind parallel zueinander.
AD=30 LE.

A (25,2 | 11,4 | 5,5)

C (14,0 | 18,0 | 2,0)

C (- 2,0 | 6,0 | 2,0)

a)

Koordinatenform der Ebene
b)Gesucht sind die Koordinaten von Punkt D.

Mein Lösungsversuch:
Teilaufgabe

a)

Nach aufstellen der Parameterform

\to

Umwandlung über N-Vektor zu Koordinatenform

\to

Ergebnis:

42 x + (- 56 y) - 240 z + 900 = 0

Teilaufgabe

b)

?????????

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Trapezes
Parallelverschiebung
Raute / Drachenviereck / Trapez
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

rundblick aktiv_icon

21:14 Uhr, 02.05.2020

.
"Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABCD."

... ... ... ... ... ... . . \to

ein Dreieck

↑

mit vier Ecken ? .. :-)

"AD und BC sind parallel zueinander."

\to

ist das so korrekt ?

A (25,2 | 11,4 | 5,5)

\to C (14,0 | 18,0 | 2,0) . .

\leftarrow C

\to C (- 2,0 | 6,0 | 2,0) ...

\leftarrow C!! ... . .

. was nun ?

.. gib doch bitte die Daten sorgfältiger ein (Tipp : kontrolliere , ehe du abschickst )
also

\to . .

.

nebenbei:
richtig ist: die drei Punkte liegen in der Ebene

\to 21 x - 28 y - 120 z + 450 = 0

Horus92 aktiv_icon

21:32 Uhr, 02.05.2020

Stimmt! Entschuldigung!

Das soll statt:

"Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABCD."

so lauten:

"Gegeben ist ein gleichschenkliges Trapez ABCD."

Danke für den Hinweis!

Horus92 aktiv_icon

21:35 Uhr, 02.05.2020

Außerdem:

A(25,2|11,4|5,5)
B(14,0|18,0|2,0)
C(-2,0|6,0|2,0)
und gesucht D

rundblick aktiv_icon

21:49 Uhr, 02.05.2020

A (25,2 | 11,4 | 5,5)

B (14 | 18 | 2)

C (- 2 | 6 | 2)

und gesucht

D

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

. ok .. :-)

und ist auch dies nun so korrekt ?

\to

und : AD und BC sind parallel zueinander.

und : AD=30 LE.

??
.

Horus92 aktiv_icon

22:03 Uhr, 02.05.2020

Anbei noch Mal die Aufgabe im Orginal.

Bedeutet deine erste Antwort, dass ich die Koordinatenform falsch ermittelt habe?

rundblick aktiv_icon

22:19 Uhr, 02.05.2020

.
"Bedeutet deine erste Antwort, dass ich die Koordinatenform falsch ermittelt habe?"

Nein

\to

ich habe dir doch bestätigt, dass du die Ebenengleichung RICHTIG ermittelt hast !

also nun zur Aufgabe

b)

\to

AD und BC sind parallel zueinander.->

also:

a) \to

kannst du den Vektor

\vec{B C} = . .

. aufschreiben?

b) \to

welche Länge, dh welchen Betrag hat dieser Vektor

: | \vec{B C} | = . .

. ?

c) \to

AD und BC sind parallel zueinander.->
welche Gleichung kannst du also mit

\vec{A D}

und

\vec{B C}

aufschreiben

\to ...

?

mach mal soweit ..
.

rundblick aktiv_icon

23:26 Uhr, 02.05.2020

.
schade, dass du dich nicht mehr meldest..
da ich jetzt dann auch weg bin, hier ein paar Antworten, über die du vielleicht
irgendwann noch nachdenken könntest ?

\to

a) \to \vec{B C} = (\begin{matrix} - 16 \\ - 12 \\ 0 \end{matrix})

b) \to | \vec{B C} | = 20

c) \to \vec{A D} = k \cdot \vec{B C} ... . .

. mit

k \in ℝ

d) \to

du weisst (woher eigentlich?) dass

\to | \vec{A D} | = 30

wie gross muss demnach der Faktor

k

sein?

k = ...

?
und welche Koordinaten hat also der Vektor

\to \vec{A D} : ...

e)

mit welcher Vektorgleichung kommst du nun direkt zum gesuchten Punkt

D

\to \vec{O D} = ...

. .

Horus92 aktiv_icon

08:38 Uhr, 03.05.2020

\vec{B C}

(\begin{array}{rcl} - 2 \\ 6 \\ 2 \end{array})

(\begin{array}{rcl} 14 \\ 18 \\ 2 \end{array})

(\begin{array}{rcl} - 16 \\ - 12 \\ 0 \end{array})

\vec{B C}

| =

\sqrt{(- 16)^{2} + (- 12)^{2} + 0^{2}}

\vec{B C}

| = 20

|

\vec{A D}

| = k *|

\vec{B C}

|
30=k*20
k=1,5

... soweit konnte ich es nachvollziehen, aber nun "hänge" ich. :o(

PS: die 30 LE für AD wurden nachträglich vom Lehrer ergänzt mitgeteilt.

Horus92 aktiv_icon

09:32 Uhr, 03.05.2020

Ich habe es so weiter versucht:

\vec{A} D

= Ortsvektor von A + k * Richtungsvektor BC

\vec{A} D

(\begin{array}{rcl} 25, 2 \\ 11, 4 \\ 5, 5 \end{array})

+ 1,5 *

(\begin{array}{rcl} - 16 \\ - 12 \\ 0 \end{array})

\vec{A} D

(\begin{array}{rcl} 7, 2 \\ - 6, 6 \\ 5, 5 \end{array})

Also müssten das die Koordinaten von Punkt D sein?
Ist das die richtige Idee???

Respon

10:07 Uhr, 03.05.2020

Kleiner Rechenfehler !

25,2 + 1,5 \cdot (- 16) = 1,2

Also
Ortsvektor von

D : (\begin{matrix} 1,2 \\ - 6,6 \\ 5,5 \end{matrix})

Und überlege dir vielleicht auch, welche Bedeutung die zusätzliche Information

| \vec{A D} | = 30 L E

hat.

rundblick aktiv_icon

10:39 Uhr, 03.05.2020

.
"Ist das die richtige Idee???"

\to

Ja - und Respon hat dich auch schon auf den kleinen Rechenfehler aufmerksam gemacht ..

\to

"A⃗D = Ortsvektor von

A + k \cdot

Richtungsvektor BC"

...

. das schreibt Mann so

\to \vec{O D} = \vec{O A} + k \cdot \vec{B C} .

. ( mit:

O

ist der Ursprung:

O (0 / 0 / 0) .)

\to

du siehst, dass zur Ermittlung von

D

die Gleichung der Ebene

E,

in der

A, B

und

C

liegen,
nicht benötigt wurde .. (warum liegt

D

aber automatisch in

E

?)

nebenbei:
"Gegeben ist ein gleichschenkliges Trapez ABCD."

\to

überlege:

... ... . .

↑ .

. und wo hast du denn diese Information gebraucht !?? :-) :-)

\to . .

.
.

Horus92 aktiv_icon

10:59 Uhr, 03.05.2020

Habe gerade noch Mal mit Cinema 4D das Trapez gezeichnet. Jetzt stimmt es tatsächlich!
Ich danke für die vielen Hinweise!

@rundblick

a) Punkt D muss auf der Ebenen liegen, sonst wäre es ja kein Trapez.

b) "gleichschenkliges Trapez" sagt mir, dass AB und CD nicht parallel verlaufen. Damit ist BC nicht gleich AD, sondern um eine Faktor größer.

Meinst du das?

Respon

11:11 Uhr, 03.05.2020

@Horus92
Und noch eine Überlegung:
Wäre die Aufgabe auch lösbar gewesen ohne die Zusatzinformation

| \vec{A D} | = 30 L E

Horus92 aktiv_icon

11:37 Uhr, 03.05.2020

Aus meiner Sicht wäre es ohne die Angabe AD = 30LE nicht möglich, da keine Faktor für die Parametergleichung AD = Ortsvektor V von A + k * Richtungsvektor AD ermittelbar wäre.

Respon

11:43 Uhr, 03.05.2020

Nachdem die Originalaufgabe ohne Zusatzinformation auskommt, gibt es Lösungen. Nur ist der Lösungsweg anders.
Übertrage mal diese Art von Aufgabe

(3

Punkte, gleichschenkliges Trapez ) nach

ℝ^{2}

und wie man es dort lösen kann.
Und dann in

ℝ^{3} . .

rundblick aktiv_icon

14:16 Uhr, 03.05.2020

.
"a) Punkt

D

muss auf der Ebenen liegen, sonst wäre es ja kein Trapez."

->ja, aber die Frage war anders: wieso kannst du mit Sicherheit sagen, dass der nach
obigem Muster ermittelte Punkt

D

tatsächlich in

E

herumliegt?
erst wenn du das weisst, kannst du mit dem Argument "Trapez" kommen

"b) "gleichschenkliges Trapez" sagt mir, dass AB und CD nicht parallel verlaufen."

\to

ja - aber wichtiger ist, dass dir "gleichschenkliges Trapez" sagt,
dass die Schenkel

\bar{A B}

und

\bar{C D} \to

gleich lang sind

!!

UND zB die InnenWinkel bei

B

und

C

gleich gross sind .. also

\to ∠ (

AB;BC)

= ∠ (

BC;CD)

" Aus meiner Sicht wäre es ohne die Angabe AD = 30LE nicht möglich"

\to

im Gegenteil : Mit der Angabe , dass AD = 30LE ist, bekommst du erstmal einfach
nur irgendein Trapez ABCD - ohne Garantie, dass dieses auch noch gleichschenklig ist..!!
(dazu müsstest du zB erst noch nachprüfen ob für dieses Beispieltrapez dann

\bar{A B} = \bar{C D})

(es könnte ja durchaus sein, dass dein Lehrer bei der Berechnung der Länge
von AD des Lösungstrapezes versehentlich? ein Fehlerchen gemacht hat..) .. :-)

\to >

also: natürlich ist die Aufgabe ohne Kenntnis von AD = 30LE (dieser freundlichen - aber
eben

n i c h t

genügenden Zusatzinfo) sauber lösbar: nur mit der Info:"gleichschenkliges Trapez"!
halt nur etwas aufwändiger :
zB so :
- du kannst problemlos den Mittelpunkt

M

der Strecke

\bar{B C}

notieren
- ermittle die in

E

liegende, durch

M

gehende Lotgerade

n

\bar{B C}

(

n

ist dann die Symmetrieachse deines gesuchten gleichschenkligen Trapezes)
- ermittle den Schnittpunkt

N

dieser Lotgeraden

n

mit der Geraden

\vec{p} = \vec{O A} + t \cdot \vec{B C}

- dann weisst du, dass

\vec{A D} = 2 \cdot \vec{A N} .

. und hast so den Punkt

D .

. :-)
ok?
.

Horus92 aktiv_icon

16:55 Uhr, 03.05.2020

Vielen, vielen Dank für die tolle Unterstützung!
Nach der anfänglichen Euphorie über die Lösung der Aufgabe (mit 30LE) bin ich nun wieder auf dem Boden der Tatsachen angekommen. Denn die beiden Lösungsvorschläge (ohne 30LE) wären mir nicht eingefallen.

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