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Vektorrechnung mit Drehmoment

Schüler , 12. Klassenstufe

Tags: Drehmoment, Technische Mechanik, Vektorrechnung

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11:11 Uhr, 21.11.2013

Meine Frage:
An einer im Koordinatenursprung gelagerten Scheibe greifen zwei Kräfte an

F 1 (4, 1, 0) r 1 (2, - 3, 0) F 2 (- 3, - 1, 0)

und

r 2 (2,8, 0)

. Welche Kräfte müssen an

r 3 (8, 2, 0)

angreifen damit das Gesamtdrehmoment 0 wird?

Ich habe als erstes den Kreuzprodukt von

F 1

und

R 1

berechnet ergebnis:

(0,0, - 14)

und von

F 2

und

R 2

(0,0,-22).Jetzt weiß ich nicht mehr wie ich weiter rechnen soll.Kann mir jemand helfen und Tipps geben?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

anonymous

12:00 Uhr, 21.11.2013

Für das Drehmoment gilt:

\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} \neq \vec{F} \times \vec{r}

Zwar würde das nichts am Ergebnis dieser Aufgabe ändern, da dann bei dir alle Drehmomente gleichermaßen in die entgegengesetzte Richtung zeigen, und man könnte das Drehmonent durchaus als

\vec{F} \times \vec{r}

definieren, allerdings wird es eben üblicherweise als

\vec{r} \times \vec{F}

definiert.

Demnach gilt in diesem Beispiel:

{\vec{M}}_{1} = {\vec{r}}_{1} \times {\vec{F}}_{1} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 14 \end{matrix})

{\vec{M}}_{2} = {\vec{r}}_{2} \times {\vec{F}}_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 22 \end{matrix})

{\vec{M}}_{3} = {\vec{r}}_{3} \times {\vec{F}}_{3} = (\begin{matrix} 2 \cdot F_{3, z} \\ - 8 \cdot F_{3, z} \\ 8 \cdot F_{3, y} - 2 \cdot F_{3, x} \end{matrix})

[

Edit:

{\vec{M}}_{3}

ausgebessert

]

Nun soll das Gesamtdrehmoment 0 werden:

{\vec{M}}_{1} + {\vec{M}}_{2} + {\vec{M}}_{3} = 0

Setzt man nun entsprechend ein, erhält man ein lineares Gleichungssytem in den Unbekannten

F_{3, x}

und

F_{3, y}

und

F_{3, z}

ironicsw aktiv_icon

00:29 Uhr, 22.11.2013

Hey,
Also ich hab für

M_{3} = (\begin{matrix} 2 \cdot F_{3} z \\ - 8 \cdot F_{3} z \\ 8 \cdot F_{3} y - 2 \cdot F_{3} x \end{matrix})

heraus.
Jetzt muss man es ja ins GLS einsetzen. Für

F_{3} z

kommt dann hier

= 0

heraus.
Aber wie siehts mit den anderen Lösungen aus?

Danke schonmal ;-)

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08:53 Uhr, 22.11.2013

Stehe vor dem selben Problem.

Für

M 3

habe ich auch

(2 F 3 z, - 8 F 3 z, (8 F 3 y - 2 F 3 x))

heraus.

F 3 z = 0

Aber wie soll man dann

x

und

y

Komponente finden? ?
Sind ja dann noch zwei Unbekannte und man hat nur noch 1 Gleichung.

Klar ist, dass

8 F 3 y - 2 F 3 x = - 36

ergeben muss. Dann stimmt alles, aber wie gesagt,

y

und

x

muss man erst mal finden.

anonymous

10:27 Uhr, 24.11.2013

Sorry, dass es so lange gedauert hat. Ich habe nicht eher die Zeit gefunden zu antworten.

Außerdem hatte ich mich bei

{\vec{M}}_{3}

in meinem letzten Beitrag verrechnet, wie ihr wohl bemerkt habt.

Das lineare Gleichungssystem ist nicht eindeutig lösbar.
Das ist auch anschaulich klar, da nur die Kraftkomponente orthogonal/senkrecht zum Hebelarm das Drehmoment ändert. Die Kraftkomponente kollinear/parallel zum Hebelarm ist dem Drehmoment egal:

Sei

{\vec{F}}_{3, s}

orthogonal zu

{\vec{r}}_{3}

.
Sei

{\vec{F}}_{3, p}

kollinear zu

{\vec{r}}_{3}

.
Sei

{\vec{F}}_{3, s} + {\vec{F}}_{3, p} = {\vec{F}}_{3}

.
Dann gilt:

{\vec{M}}_{3} = {\vec{r}}_{3} \times {\vec{F}}_{3} = {\vec{r}}_{3} \times ({\vec{F}}_{3, s} + {\vec{F}}_{3, p}) = {\vec{r}}_{3} \times {\vec{F}}_{3, s} + {\vec{r}}_{3} \times {\vec{F}}_{3, p} = {\vec{r}}_{3} \times {\vec{F}}_{3, s} + 0 = {\vec{r}}_{3} \times {\vec{F}}_{3, s}

Nun zurück zur eigentlichen Aufgabe:

8 \cdot F_{3, y} - 2 \cdot F_{3, x} = - 36 \Leftrightarrow F_{3, x} = 18 + 4 \cdot F_{3, y}

Zusammen mit

F_{3, z} = 0

ergibt sich:

{\vec{F}}_{3} = (\begin{matrix} F_{3, x} \\ F_{3, y} \\ F_{3, z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 18 + 4 \cdot F_{3, y} \\ F_{3, y} \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + F_{3, y} \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Nun ergibt sich für jedes

F_{3, y}

eine Kraft

{\vec{F}}_{3},

welche die Forderungen aus der Aufgabenstellung erfüllt.

Man sieht auch, das eine Änderung von

F_{3, y}

das Drehmoment nicht ändert, da

(\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

parallel zu

{\vec{r}}_{3}

ist.
Es gilt:

{\vec{M}}_{3} = {\vec{r}}_{3} \times {\vec{F}}_{3} = {\vec{r}}_{3} \times ((\begin{matrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + F_{3, y} \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})) = {\vec{r}}_{3} \times (\begin{matrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + F_{3, y} \cdot {\vec{r}}_{3} \times \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = {\vec{r}}_{3} \times (\begin{matrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + F_{3, y} \cdot 0 = {\vec{r}}_{3} \times (\begin{matrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

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12:15 Uhr, 24.11.2013

Ich habe vergessen etwas bei der Frage hinzuzufügen,das alle mögliche Kräfte angegeben werden können.Die Frage war:

An einer im Koordinatenursprung gelagerten Scheibe greifen zwei Kräfte an F1(4,1,0)R1(2,-3,0) F2(-3,-1,0) und R2(2,8,0).

Welche Kräfte(alle möglichen nennen) müssen an r3(8,2,0) angreifen damit das Gesamtdrehmoment 0 wird?

Das heißt ich könnte mir also auch eins selber ausdenken,das am ende mit dem Kreuzprodukt von r3(8,2,0) ein Drehmoment (M) von= 36 ergibt?

anonymous

12:31 Uhr, 24.11.2013

2Das heißt ich könnte mir also auch eins selber ausdenken,das am ende mit dem Kreuzprodukt von

r 3 (8,2,0)

ein Drehmoment

(M)

von=

36

ergibt?"

Naja, das Drehmoment muss nicht nur

36

betragen, es muss auch in die richtige Richtung zeigen, aber dann kannst du dir eines ausdenken. Das ausgedachte wird dann in der Menge

(\begin{matrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + ℝ \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

liegen. Denn das ist ja die Lösung der Aufgabe, wie aus den letzten Beiträgen ersichtlich wird.

So wären beispielsweise

(\begin{matrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + 0 \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + (- 2) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix})

mögliche Lösungen für

{\vec{F}}_{3}

.

Die allgemeine Lösugsmenge ist, wie bereits geschrieben, dann:

(\begin{matrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + ℝ \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

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13:23 Uhr, 24.11.2013

Dann würde aber -36 rauskommen.Wenn man das Kreuzprodukt (8,2,0) X ( 10,-2,0) berechnet?

anonymous

13:36 Uhr, 24.11.2013

Es soll doch auch

{\vec{M}}_{3} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 36 \end{matrix})

herauskommen.

{\vec{M}}_{1} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 14 \end{matrix})

{\vec{M}}_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 22 \end{matrix})

{\vec{M}}_{1} + {\vec{M}}_{2} + {\vec{M}}_{3} = 0

\Rightarrow {\vec{M}}_{3} = 0 - ({\vec{M}}_{2} + {\vec{M}}_{3}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 36 \end{matrix})

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19:43 Uhr, 04.12.2013

Hallo kenkyu,

Ich habe nochmal mein Mathe Hochschulprofessor gefragt.Die Aufgabe mit dein Lösungssatz stimmt.

Vielen Danke.

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