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Vektroraufgabe Würfel

Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Vektorgeometrie

mahnas81 aktiv_icon

09:33 Uhr, 23.02.2010

Hallo ich habe eine Aufgabe, die mir bitte erklärt werden soll.

A (- 8 | 2 | - 4),

B (0 | 10 | 10),

C (2 | - 6 | 18),

D (- 6 | - 14 | 4),

E (8 | 0 | - 12),

F (16 | 8 | 2),

G (18 | - 8 | 10),

H (10 | - 16 | - 4)

Ebene EFGH

E : x = (8 | 0 | - 12) + r (8 | 8 | 14) + s (2 | - 16 | 8)

Eine gerade

g : x = (27 | 10 | - 17) + t (- 5 | - 2 | 4)

M (12 | 4 | - 5)

Die gerade

g

durchstößt

E

im punkt

M

r = \frac{1}{2}

s = 0

t = 3

Begründen Sie:
Der Durchstoßpunkt

M

liegt im Quadrat EFGH.
Beschreiben Sie dazu das Quadrat EFGH als Teil der Ebene

E_{1}

durch Einschränkung der Parameter und zeigen Sie, dass die Parameterwerte für den Ortsvektor von

M

im zulässigen Bereich liegen.

Ich habe die Lösung in meinem Buch, verstehe es aber nicht ganz. Kann mir das jemand etwas erklären?

Danke euch!

Edddi aktiv_icon

10:17 Uhr, 23.02.2010

A - H

bezeichnen die Eckpunkte eines Würfels.

Dabei bezeichnen

A - B - C - D

und

E - F - G - H

zwei Quadrate und liegen parallel zueinander.

Für uns interessant ist das Quadrat

E - F - G - H .

Zeichne dir mal ein Quadrat mit diesen 4 Punkten. Dabei werden

E - F

und

E - H

durch die Seiten (Kanten des Würfels) verbunden.

G

liegt diagonal gegenüber.

Zur Beschreibung der Fläche wähle ich nun einen Punkt

(E)

als Stützvektor:

(\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ - 12 \end{matrix})

Die Ebene selber muss ich mittels 2-er Vektoren (welche die Fläche aufspannen) darstellen.
Dabei bieten sich die Verbindungslinien der Punkte

E - F

und

E - H

an (Seiten des Quadrats bzw. Kanten des Würfels)

Um aus diesen Seiten mit Hilfe der Punkte Vektoren zu machen, muss ich einfach nur die Differenz der Punkte bilden:

V_{1} = (\begin{matrix} 16 \\ 8 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ - 12 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 8 \\ 8 \\ 14 \end{matrix})

V_{2} = (\begin{matrix} 10 \\ - 16 \\ - 4 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ - 12 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 16 \\ 8 \end{matrix})

Diese beiden Richtungsvektoren addiere ich nun zum Stützvektor.
Mit den Variablen

r

und

s

mit jeweils

0 \leq r \leq 1

und

0 \leq s \leq 1

kann nun die Länge (Beträge) der Vektoren variieren, so dass alle Punkte der Würfelfläche

E - F - G - H

beschrieben werden.

E = (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ - 12 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 8 \\ 14 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 16 \\ 8 \end{matrix})

Jetzt zur Geraden. Diese wird ebenfalls Durch Stütz- und einen Richtungsvektor dargestellt:

G = (\begin{matrix} 27 \\ 10 \\ - 17 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 5 \\ - 2 \\ 4 \end{matrix})

t

kann dabei beliebig groß werden (unendliche Gerade).

Dies reicht schon, um

M

zu bestimmen indem du beide Gleichung gleichsetzt:

(\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ - 12 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 8 \\ 14 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 16 \\ 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 27 \\ 10 \\ - 17 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 5 \\ - 2 \\ 4 \end{matrix})

r \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 8 \\ 14 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 16 \\ 8 \end{matrix}) - t \cdot (\begin{matrix} - 5 \\ - 2 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 27 \\ 10 \\ - 17 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ - 12 \end{matrix})

r \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 8 \\ 14 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 16 \\ 8 \end{matrix}) - t \cdot (\begin{matrix} - 5 \\ - 2 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 19 \\ 10 \\ - 5 \end{matrix})

somit haben wir ein GLS welches sich anbietet mittels Determinanten-Verfahren gelöst zu werden.

Damit erhälst du ein GLS mit 3 GL und 3 Variablen.

Lösung ist dann (wenn deine Vorgabe stimmt, denn ich habe sie nicht nachgerechnet):

r = \frac{1}{2}, s = 0, t = 3

Aber du kannst die Probe machen, indem du die Werte einsetzt:

E_{M} = E = (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ - 12 \end{matrix}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 8 \\ 14 \end{matrix}) + 0 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 16 \\ 8 \end{matrix})

E_{M} = E = (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ - 12 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 12 \\ 4 \\ - 5 \end{matrix})

G_{M} = (\begin{matrix} 27 \\ 10 \\ - 17 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} - 5 \\ - 2 \\ 4 \end{matrix})

G_{M} = (\begin{matrix} 27 \\ 10 \\ - 17 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 15 \\ - 6 \\ 12 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 12 \\ 4 \\ - 5 \end{matrix})

...scheint also zu passen, beide Ortsvektoren

E_{M}

und

G_{M}

sind identisch.

Das der Punkt

M \in E

liegt siehst du daran, dass die Parameter eingehalten werden.

t

ist eine Variable für die Gerade, un kann jeden beliebigen Wert annehmen.

Für die Quadratfläche hatten wir jedoch obige Einschränkung, das

r

und

s

jeweils

\geq 0

und

\leq 1

sein müssen.

Die Lösungen des GLS geben

r

und

s

innerhalb dieses Interwalls an, damit liegt

M

auf

E!

..falls du was nicht verstanden hast, dann meld' dich nochmal...ist aber 'ne ganze Menge, was du da wissen willst, weil ich hier ja alles nochmals beschreiben muss.

Greez...

;-)

mahnas81 aktiv_icon

10:42 Uhr, 23.02.2010

Danke, dass du mir alles erklärt hast, meine frage war aber eigentlich nur warum wird es von 0 bis 1 begrenzt? Wie kommt man darauf?

r

und

s \geq 0

und

\leq 1

Edddi aktiv_icon

11:14 Uhr, 23.02.2010

...die Differenzen der Ortsvektoren

E - F

und

E - H

ergeben ja die beiden Richtungsvektoren, welche die Ebene

E

aufspannen.

Die Beträge der beiden Richtungsvektoren sind identisch mit den Seitenlängen des Quadrats bzw. den Kantenlängen des Würfels.

Die beiden Vektoren liegen also genau auf den beiden Seiten

E_{F}

und

E_{H}

und sind auch genauso lang.

Ich nenne beide Vektoren

V_{1}

und

V_{2}

. Diese sind auch noch zueinander orthogonal.

Die Ebene, welche die beiden Vektoren aufspannen ist ja bei beliebiegen

r

und

s

eine unendlich Große Fläche.

wähle ich für

r

und

s

jedoch nur Werte zwischen 0 und 1 können sich nur Punkte auf dem Quadrat, welches von

V_{1}

und

V_{2}

aufgespannt wird, ergeben.

...verstanden?

;-)

mahnas81 aktiv_icon

12:41 Uhr, 23.02.2010

sorry für die dummen fragen,

aber wie kommst du darauf, dass

s

und

r

zwischen 0 und 1 sein müssen?

verstehe ich es richtig, wenn

r

und

s

beide 1 sind, dann

E : x = (\begin{matrix} 18 \\ - 8 \\ 10 \end{matrix})

das ist

G .

ah ok, ich glaube ich verstehe das.
wenn

r = 0

und

s = 1

dann habe ich

H

und wenn

r = 1

und

s = 0

dann habe ich

F

wenn beide

0,

dann habe ich

E

kann ich es mir so merken: immer wenn ich eine bestimmte fläche von einem teil von einer ebene betrachten will, müssen

s

und

r

zwischen 0 und 1 sein?

Edddi aktiv_icon

07:59 Uhr, 24.02.2010

...ja genau...
mit

r \leq 1

und

s \leq 1

werden alle Punkte innerhalb der durch die beiden Richtungsvektoren aufgespannten Raute beschrieben.

;-)

Edddi aktiv_icon

08:48 Uhr, 24.02.2010

...hab' dir mal 'ne Grafik zur Verdeutlichung rangehangen:

;-)

mahnas81 aktiv_icon

10:39 Uhr, 25.02.2010

danke

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