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Verbindung zwischen Spatprodukt und Tetraeder

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Spatprodukt, tetraeder, Vektorraum

Zarrin aktiv_icon

20:28 Uhr, 11.05.2009

Hallo!
Ich hab da eine Aufgabe bei der ich nicht weiter komme.

Zeigen Sie, dass das Volumen des durch drei linear unabhängigen Vektoren aufgespannten Tetraeders gleich ist einem sechstel des entsprechenden Tetreaders...

Also, klar ist, dass das Spatprodukt das Volumen eines Parallelogramms ist mit Grundfläche mal höhe, (hier Kombination aus Vektorproudukt und Skalarprodukt), und in den Büchern finde ich lediglich die Formel, dass das Tetreader

\frac{1}{6}

mal das Spatprodukt ist. Leider hilft mir das nicht weiter.

Ich hab es dann über das Volumen durch eine andere Formel versucht,
V(tetraeder)=

\frac{a^{3}}{12} \cdot

Wurzel 2
und dann mit gleichsetzen.
Ich wäre für einen Tipp wirklich dankbar!! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Volumen einer Pyramide

Zarrin aktiv_icon

21:04 Uhr, 11.05.2009

Ich habs selber herausgefunden.Denke ich :-)

Also, das Volumen vom tetraeder ist

\frac{1}{3} \cdot G \cdot H

also dann ist

G = \frac{1}{2}

[

AxB], also die Grundfläche des Parallelogramms halbiert
und
der Winkel zwischen der Höhe und dem Vektor

C

ist definiert zu:

cos (α) = \frac{h}{c}

(die

[]

Klammern sollen den Betrag anzeigen)

umgesetllt nach

h :

H = [C] \cdot cos (α)

mit der Definition a punkt

b = [a] \cdot [b] \cdot cos (α)

kann ich alles einsetzen und erhalte:

V =

1/3*1/2*

[

c]*[(AxB)]

\cdot cos (α) = \frac{1}{6} \cdot c

punkt (AxB)

= \frac{1}{6}

Spat

das könnte richtig sein, oder?

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