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Schüler Gymnasium,

Tags: Partielle Ableitung, Produktionsfunktion

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22:20 Uhr, 21.11.2015

Hey Leute,

eine kurze Frage zu folgender Aufgabe:

Berechnen Sie für die folgende Produktionsfunktion:

y = K^{α} \cdot L^{1 - α}

a)

die partiellen Produktionselastizitäten

E (Y, L) =

1.Ableitung (L)

\cdot \frac{L}{Y} = (1 - α) \cdot K^{α} \cdot L^{1 - α} \cdot \frac{L}{K^{α} \cdot L^{1 - α}}

= (1 - α) \cdot K^{α} \cdot L^{- α} \cdot L \cdot K^{- α} \cdot L^{α - 1}

= 1 - α

Ich versteh nicht ganz warum man die 1. Ableitung

\cdot \frac{L}{Y}

rechnet, vor allem warum

\frac{L}{Y}

?

Und ist es bei Variablen auch so, dass wenn

z . B

. hier

K^{α} \cdot K^{- α} = K^{0}

dass das dann 1 wird? das ist dann doch auch

K^{0}

und nicht

K^{1}

oder?

Ich hoffe mir kann jemand helfen!

Roman-22

12:53 Uhr, 22.11.2015

>

Ich versteh nicht ganz warum man die 1. Ableitung ⋅LY rechnet,
Weil das eben die Definition der Produktelastizität ist. Es ist der Quotient aus der relativen Änderung des Outputs

y

(also

\frac{d y}{d L})

und der relativen Änderung des Inputs

L (\frac{y}{L})

\to

de.wikipedia.org/wiki/Produktionselastizit%C3%A4t

\to

wirtschaftslexikon.gabler.de/Definition/partielle-produktionselastizitaet.html

\to

wirtschaftslexikon.gabler.de/Definition/produktionselastizitaet.html

>

Und ist es bei Variablen auch so, dass wenn

z . B

. hier Kα⋅K-α=K0 dass das dann 1 wird? das ist dann doch auch

K 0

und nicht

K 1

oder?
Hier verstehe ich deine Frage leider nicht. Du hast Recht,

K^{α} \cdot K^{- α} = K^{0} = 1

.
Genau das wurde ja im letzten Schritt der von dir angegebenen Umformung korrekt angewandt. Wo siehst du da das von dir erwähnte

K^{1}

R

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19:01 Uhr, 22.11.2015

Ich war gestern einfach verwirrt glaub ich, ich dachte mir so weil man ja nicht immer

K^{1}

schreibt sondern einfach nur K. Und bei

K^{α} \cdot K^{- α}

fällt das

α

ja komplett weg und ich dachte dann bleibt ja 1 über aber ich glaub das war einfach zu spät für mathematik.

Aufgabe

b)

lautet:

Berechnen Sie die Skalenelastizität.

Y = K^{α} \cdot L^{1 - α}

man erweitert die Funktion um

b

Y = {(b \cdot K)}^{α} \cdot {(b \cdot L)}^{1 - α}

ε (y, b) = \frac{δ y}{δ b} \cdot \frac{b}{y}

= K^{α} \cdot L^{1 - α} \cdot \frac{b}{{(b \cdot K)}^{α} \cdot {(b \cdot L)}^{1 - α}}

= 1

Ich versteh die Formel irgendwie nicht so... leitet man die Produktionsfunktion nicht nach

b

ab? weil dann müsste doch aus (

b \cdot K)^{α} \cdot {(b \cdot L)}^{1 - α}

folgendes werden:

α \cdot b^{α - 1} \cdot K^{α} \cdot (1 - α) \cdot b^{- α} \cdot L^{1 - α} ... .

.

Ich hoffe mir kann jemand helfen.

Roman-22

19:16 Uhr, 22.11.2015

Nun, ich bin jetzt einfach zu bequem, die ganzen Spezialbegriffe nachzuschlagen, die die Wirtschafter sich für meist recht banale mathematische Zusammenhänge ausgedacht haben, denn das kannst du ja genau so gut machen und hast wohl auch die nötigen Unterlagen parat.

Ich weiß daher nicht, was eine Skalenelastizität sein soll, aber soviel ist gewiss:

Aus

Y = K^{α} \cdot L^{1 - α}

folgt NICHT

Y = {(K \cdot b)}^{α} \cdot {(L \cdot b)}^{1 - α}

sondern bestenfalls

Y = \frac{1}{b} \cdot {(K \cdot b)}^{α} \cdot {(L \cdot b)}^{1 - α}

.

Was immer

b

auch sein mag.

R

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19:24 Uhr, 22.11.2015

Ach quatsch das erwarte ich auch nicht, dass du das nachschlägst, aber hätte ja sein können dass hier zufällig ein Wirtschafter ist.

Allgemein gibt die Skalenelastizität an, um wie viel Prozent sich der Output

(y)

erhöht wenn die Inputs

(K, L)

gleichzeitig um ein prozent erhöht werden.

Entweder berechnet man die, in dem man die partiellen Produktionselastizitäten zusammenrechnet

oder durch die Formel

: \frac{δ y (b)}{δ b} \cdot \frac{b}{y (b)}

In meine Unterlagen wird die Funktion

Y

b

erweitert und zwar genau so wie ich es aufgeschrieben habe, vielleicht erklär ich das hier auch grad nur falsch.

Denn auch wenn man den Homogenitätsgrad einer Produktionsfunktion bestimmt, also die Skalenerträge erweitert man die Funktion mit

b

.

Ich hoffe du verstehst was ich mein.

Roman-22

19:29 Uhr, 22.11.2015

Erweitert werden in der Mathematik Brüche, aber keine Funktionen.

Aber vielleicht ist Folgendes gemeint:

Y = K^{α} \cdot L^{1 - α}

b \cdot Y = b \cdot K^{α} \cdot L^{1 - α}

b \cdot Y = {(b \cdot K)}^{α} \cdot {(b \cdot L)}^{1 - α}

Das wär dann auch wieder richtig und du hättest dann ursprünglich nur links vergessen, mit

b

zu multiplizieren.

R

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19:34 Uhr, 22.11.2015

ja genau das meinte ich.

b \cdot y = {(b \cdot K)}^{α} \cdot {(b \cdot L)}^{1 - α}

Muss man dann erst alles rausziehen also

b^{α} \cdot K^{α}

usw oder kann man das auch so abeiten ?

Roman-22

19:38 Uhr, 22.11.2015

Natürlich kann mans auch so ableiten, aber was soll schon bei

y \cdot b

nach

b

abgeleitet anderes rauskommen als y? Egal, wie kompliziert man

y

auch aufschreiben mag.
Der Sinn der ganzen Aktion mag sich mir nicht erschließen.

R

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19:43 Uhr, 22.11.2015

ja und auf der rechten seite der gleichung,

{(b \cdot K)}^{α} \cdot {(b \cdot L)}^{1 - α} \cdot \frac{b}{{(b \cdot K)}^{α} \cdot {(b \cdot L)}^{1 - α}}

die formel war

j : \frac{δ y (b)}{δ b} \cdot \frac{b}{y (b)}

Ich bin dir auf jedenfall schon dankbar dass mir du hilfst. Könnte sein dass ich dir grad richtig dumme fragen stelle haha

Roman-22

19:51 Uhr, 22.11.2015

Sind

K

und

L

auch von

b

in irgendeiner Weise abhängig?

Ansonsten gilt ja bloß

y (b) = b \cdot Y

.
Beachte den Unterschied zwischen

y

und

Y!

Y

ist der von

b

völlig unabhängige Ausdruck in

L, K

und

α

und

y (b)

ist eben dieser Ausdruck multipliziert mit

b

.

In deinen Ausführungen war mir oft nicht klar, was

y

oder

Y

denn genau sein sollen.

R

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19:55 Uhr, 22.11.2015

Auf meinem Aufgabenblatt steht

Y = K^{α} \cdot L^{1 - α}

und aufgeschrieben als Lösung vom Prof hab ich

Y = {(b \cdot K)}^{α} \cdot {(b \cdot L)}^{1 - α}

und eben die Formel

Roman-22

20:05 Uhr, 22.11.2015

naja, wie schon geschrieben ist das so nicht richtig.
Es sei denn,

b = 1

oder die beiden

Y

haben eben nicht die gleiche Bedeutung, denn das zweite

Y

ist das b-fache des ersten. Und gleiche Bezeichnung für Unterschiedliches in einer Rechnung ist ein absolutes No-Go.
Vielleicht aber nicht bei Wirtschafter und so wirst du, fürchte ich, auf das Vorbeikommen eines Kundigen ebensolchen hier warten müssen.

R

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20:09 Uhr, 22.11.2015

Mh okey, aber nehmen wir mal an das ist jetzt so , wie würde ich dann

{(b \cdot K)}^{α} \cdot {(b \cdot L)}^{1 - α}

ableiten?

Roman-22

20:21 Uhr, 22.11.2015

Z_{2} (b) = {(b \cdot K)}^{α} \cdot {(b \cdot L)}^{1 - α}

1)

Die vernünftige Art, erst vereinfachen:

Z_{2} (b) = b^{α} \cdot K^{α} \cdot b^{1 - α} \cdot L^{1 - α}

Z_{2} (b) = b^{α} \cdot b^{1 - α} \cdot K^{α} \cdot L^{1 - α}

Z_{2} (b) = b \cdot K^{α} \cdot L^{1 - α}

(hier steht eben:

Z_{2} (b) = b \cdot Z)

\frac{d}{d b} Z_{2} (b) = K^{α} \cdot L^{1 - α}

(und hier steht:

\frac{d}{d b} Z_{2} (b) = Z

:-)

2)

Die idiotische (sorry) Art - direkt mit Produkt und Kettenregel:

Z_{2} (b) = {(b \cdot K)}^{α} \cdot {(b \cdot L)}^{1 - α}

\frac{d}{d b} Z_{2} (b) = α \cdot {(b \cdot K)}^{α - 1} \cdot K \cdot {(b \cdot L)}^{1 - α} + {(b \cdot K)}^{α} \cdot (1 - α) \cdot {(b \cdot L)}^{- α} \cdot L =

= ...

.
Die Umformerei, bis sich hier eben auch alle

b

aufheben und

K^{α} \cdot L^{1 - α}

da steht, die überlasse ich nun dir ;-) Ist aber nicht mehr so schlimm.

R

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20:28 Uhr, 22.11.2015

ich danke dir :-D) hast mir echt geholfen

Roman-22

22:45 Uhr, 22.11.2015

Gern geschehen.

Wenns das war, bitte Frage abhaken, damit sie nicht in der Liste der offenen Fragen auftaucht.

R

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