Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Vereinfachen von, Spat-Vektor und Skalarprodukt

Vereinfachen von, Spat-Vektor und Skalarprodukt

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektoralgebra

ASa-FS aktiv_icon

21:26 Uhr, 11.11.2011

Hallo,

es gilt diese Gleichung zu vereinfachen:

((a) + (c) \times 2 b) \cdot (a + b) + ((b) + (c) \times a) \cdot (a + c)

Es handelt sich bei

a, b

und

c

um Vektoren.

Ich wei0 bei der Aufgabe nicht weiter

: (

Irgendwelche Vorschläge, wie ich am besten anfange? :-)

ASa-FS aktiv_icon

22:32 Uhr, 11.11.2011

Keiner eine Idee?

Yokozuna aktiv_icon

11:11 Uhr, 12.11.2011

Hallo,

für die Skalarmultiplikation gilt doch das Distributivgesetzt. Multipliziere die Klammern deshalb einfach aus. Dabei entstehen auch ein paar Spatprodukte, wovon einige gleich 0 sind (gleiche Vektoren im Spatprodukt). Den Rest kann man noch ein bischen zusammenfassen.

Viele Grüße
Yokozuna

ASa-FS aktiv_icon

19:23 Uhr, 13.11.2011

Komme leider nicht ganz soweit

: (

Kann ja jetzt einfach anfangen:

...

= 2 b \times a + 2 b \times c \cdot (a + b) + a \times b + a \times c \cdot (a + c)

= 2 b \times a \cdot a + 2 b \times \cdot b + 2 b \times c \cdot a + 2 b \times c \cdot b + a \times b \cdot a + a \times b \cdot c \cdot a \times c \cdot a + a \times c \cdot c

Wie kann ich jetzt weiter zusammen fassen?

etwa so?

= 2 b \times a^{2} + 2 b \times a \cdot b + 2 b \times c \cdot a \cdot 2 b \times c \cdot b + a \times b \cdot a + a \times b \cdot c + a \times c \cdot a + a \times c \cdot c

ich denke eher nicht, oder?

Freue mich über jede Hilfe ! Danke Yokozuna !

Yokozuna aktiv_icon

20:18 Uhr, 13.11.2011

Hallo,

der zu vereinfachende Ausdruck soll wohl so aussehen:

((\vec{a} + \vec{c}) \times 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) + ((\vec{b} + \vec{c}) \times \vec{a}) \cdot (\vec{a} + \vec{c})

Zuerst multiplizieren wir die Klammern mit dem Kreuzprodukt aus:

= (\vec{a} \times 2 \vec{b} + \vec{c} \times 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) + (\vec{b} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{a}) \cdot (\vec{a} + \vec{c})

Hierbei ist die Reihenfolge wichtig, denn das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ. Es gilt

\vec{x} \times \vec{y} = - \vec{y} \times \vec{x}

Es muß also

z . B

. in der ersten Klammer

\vec{a} \times 2 \vec{b}

und

\vec{c} \times 2 \vec{b}

heißen. Du hast da die Reihenfolge einfach umgedreht ohne das Vorzeichen zu ändern.

Nun geht es weiter (Multiplikation der ersten mit der zweiten und der dritten mit der vierten Klammer):

= (\vec{a} \times 2 \vec{b}) \cdot \vec{a} + (\vec{c} \times 2 \vec{b}) \cdot \vec{a} + (\vec{a} \times 2 \vec{b}) \cdot \vec{b} + (\vec{c} \times 2 \vec{b}) \cdot \vec{b} +

(\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{a} + (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{a} + (\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{c} + (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{c}

Jetzt stehen 8 Spatprodukte da. Bei Spatprodukten kommt es ebenfalls auf die Reihenfolge an. Wenn man die drei beteiligten Vektoren in einem Spatprodukt zyklisch vertauscht, ändert sich das Vorzeichen nicht, vertauscht man dagegen antizyklisch, ändert sich das Vorzeichen:

(\vec{x} \times \vec{y}) \cdot \vec{z} = (\vec{y} \times \vec{z}) \cdot \vec{x} = (\vec{z} \times \vec{x}) \cdot \vec{y} = - (\vec{y} \times \vec{x}) \cdot \vec{z} = - (\vec{z} \times \vec{y}) \cdot \vec{x} = - (\vec{x} \times \vec{z}) \cdot \vec{y}

Sind mindestens zwei der drei beteiligten Vektoren in einem Spatprodukt gleich, so ist das Spatprodukt

= 0, z . B

(\vec{x} \times \vec{x}) \cdot \vec{y} = 0

oder

(\vec{x} \times \vec{y}) \cdot \vec{x} = 0

etc. (man darf auch

z . B

. nicht

(\vec{y} \times \vec{x}) \cdot \vec{x} = \vec{y} \times {(\vec{x})}^{2}

schreiben, da

{(\vec{x})}^{2}

ein Skalar ist). Dies bedeutet, daß von den 8 Spatprodukten in Deinem Ausdruck nur 2 Spatprodukte ungleich 0 sind und es bleibt übrig:

= (\vec{c} \times 2 \vec{b}) \cdot \vec{a} + (\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{c}

Skalare Faktoren kann man vor das Skalarprodukt ziehen:

(\vec{c} \times 2 \vec{b}) \cdot \vec{a} = 2 \cdot (\vec{c} \times \vec{b}) \cdot \vec{a}

und wenn wir im ersten Skalarprodukt noch die Reihenfolge zyklisch vertauschen

(d . h .,

das Vorzeichen ändert sich nicht), erhalten wir:

= 2 \cdot (\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{c} + (\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{c} = 3 \cdot (\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{c}

oder wenn man die Vektoren lieber alphabetisch sortiert haben möchte:

= - 3 \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}

weil sich die Reihenfolge diesmal antizyklisch ändert, was einen Vorzeichenwechsel zur Folge hat.

Viele Grüße
Yokozuna

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

939052

938009

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?