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Vereinfachung von Reihe (geometrische Reihe)

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Geometrische Folge, Geometrische Reihe, reih, Vereinfachen, Vereinfachung

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17:30 Uhr, 03.04.2016

Hallo,

ich stecke bei einer Vereinfachung einer Reihe fest, ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Ich bin bei dem Schritt, bei dem ich das stehen habe:

\sum_{k = 0}^{\infty} (2^{- k} - 2^{- k - 1})

Die Lösung vereinfacht einfach direkt zu

(\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \frac{1}{1 - \frac{1}{4}})

Wie ich verstanden habe vereinfacht die Lösung einfach mit der Formel für geometrische Reihen

\sum_{k = 0}^{\infty} a_{0} p^{k} = \frac{a_{0}}{1 - p}

Aber bei mir geht der zweite Teil nicht so auf wie erwartet.
Meine Umformung:

\sum_{k = 0}^{\infty} (2^{- k} - 2^{- k - 1}) = \sum_{k = 0}^{\infty} 2^{- k} - \sum_{k = 0}^{\infty} 2^{- 2 k - 1}

Geometrische Reihenformel auf die erste Summe angewendet, komme ich auf

\sum_{k = 0}^{\infty} 2^{- k} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}

Also stimmt der Teil schon mal

Aber bei der 2. Summe komme ich nicht drauf, wie die Lösung das gemacht hat.
Da ich in der Lösung unter dem Bruch ein

- \frac{1}{4}

sehe, denke ich mir, ich kann die Basis von

2^{- 2 k - 1}

auf 4 bringen,
also wenn ich nur den Teil betrachte, könnte ich nehmen:

\frac{1}{2^{- 2 k - 1}} 2^{- 2 k - 1} \cdot 2^{- 2 k - 1} = \frac{1}{2^{- 2 k - 1}} 4^{- 2 k - 1}

Aber dann habe ich

\frac{1}{2^{- 2 k - 1}}

"im Weg"...

\frac{1}{2^{- 2 k - 1}} = 2^{2 k + 1}

\sum_{k = 0}^{\infty} 2^{2 k + 1} = \frac{1}{1 - 2} = - 1

???

Ich hoffe, ihr versteht meinen Gedankengang, aber ich will echt gerne wissen, wie das vereinfacht werden sollte...

Vielen Dank schon mal!

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