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Vereinigung endlicher URe <=> K endlich

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

matheclown aktiv_icon

17:17 Uhr, 30.05.2017

Hallo, die Aufgabe lautet:

Es sei

V

ein endlich dimensionaler Vektorraum über einen Körper

K

und

dim (V) \geq 2

. Zeigen Sie:

V

ist genau dann als Vereinigung endlich vieler echter Unterräume darstellbar, wenn

K

ein endlicher Körper ist.

Ich habe ehrlich gesagt keinen Ansatz, ich finde die Aussage zwar logisch, aber kann mir keinen Reim daraus machen.

DrBoogie aktiv_icon

18:03 Uhr, 30.05.2017

Sei

V = V_{1} \cup V_{2}

, wobei

V_{1}

und

V_{2}

echte Teilräume sind.
Sei

v_{1}

aus

V \ V_{2}

und

v_{2}

aus

V \ V_{1}

. Damit gilt auch

v_{1} \in V_{1}

v_{2} \in V_{2}

.
Dann kann

v_{1} + v_{2}

nicht in

V_{1}

liegen, denn sonst wäre

v_{2} = (v_{1} + v_{2}) - v_{1}

auch in

V_{1}

. Genauso kann

v_{1} + v_{2}

nicht in

V_{2}

liegen. Damit liegt

v_{1} + v_{2}

nicht in

V

, was ein Widerspruch ist.

Für allgemeines

n

soll es per Induktion beweisbar sein.
Interessante Frage ist, wo ich hier die Tatsache benutzt habe, dass

K

unendlich ist.

DrBoogie aktiv_icon

18:09 Uhr, 30.05.2017

Kuck auch hier:
http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=14957&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dweb%26cd%3D3%26ved%3D0ahUKEwidreuVgJjUAhXEvxQKHZtfA6EQFgguMAI

matheclown aktiv_icon

20:53 Uhr, 30.05.2017

Also: Der Induktionsanfang wäre quasi dein Beweis.
Induktionsvoraussetzung: Gelte dies für

V = V 1

∪

V 2

∪

. .

. ∪ Vn.
Induktionsschluss: Sei

V

ein endlich dimensionaler Vektor über einem Körper K. Sei

V = V 1

∪

V 2

∪

. .

. ∪ Vn ∪ Vn+1,wobei

V 1, ...,

Vn+1 echte Teilräume sind.

Sei

v 1

aus V\(V2,...,Vn+1),

v 2

aus V\(V1,V3,...,Vn+1),..., vn aus V\(V1,...,Vn-1,Vn+1) und vn+1 aus V\(V1,...,Vn). Damit gilt auch

v 1

∈

V 1, v 2

∈

V 2, ...,

vn ∈ Vn, vn+1 ∈ Vn+1. Dann kann v1+v2+...+vn+1 nicht in

V 1

liegen, denn sonst wäre v2=(v1+v2+...+vn+1)-(v1+v3+...+vn+1),

...,

vn+1=(v1+...+vn+1)-(v1+...+vn) auch in

V 1

. Genauso kann v1+v2+...+vn+1 nicht in V2,V3,...,Vn+1 liegen.

Damit liegt v1+v2+...+vn+1 nicht in

V

was ein Widerspruch ist.

\Rightarrow

daraus folgt dass auch

K

ein endlicher Körper sein muss.

Wäre das so richtig? oder muss ich das mit

K

irgendwie anders zeigen?

DrBoogie aktiv_icon

21:44 Uhr, 30.05.2017

"Dann kann v1+v2+...+vn+1 nicht in V1 liegen, denn sonst wäre v2=(v1+v2+...+vn+1)-(v1+v3+...+vn+1), ..., vn+1=(v1+...+vn+1)-(v1+...+vn) auch in V1."

Sorry, aber da schreibst Du leider kompletten Quatsch.
Diese Argumentation funktioniert nicht mehr, z.B. weil

(v_{1} + v_{3} + . . . + v_{n + 1})

gar nicht in

V_{1}

liegen muss.

Die Sache ist schon ein ganzes Stück komplizierter.
Studiere am besten den Link, den ich gepostet habe.

ermanus aktiv_icon

15:25 Uhr, 31.05.2017

Hallo,

das ist ja mal ein interessantes Problem und in der Tat nicht so einfach.
DrBoogie hat ja dazu einen Prima-Link gepostet. Ich habe mich um eine
alternative Beweisidee bemüht und hoffe, dass ich eine solche hier zu
"Papier" bringen kann ;-)

Wir können annehmen, dass

V = K^{n}

ist.
Der schwierige Teil der Behauptung ist:
Für

n \geq 1

gilt:

∣ K ∣ = \infty \Rightarrow K^{n} \ ⋃_{i = 1}^{m} V_{i} \neq \emptyset

,
wobei

V_{1}, \dots, V_{m}

Hyperebenen sind.

Beweis durch vollständige Induktion:
Induktionsanfang ist

n = 1

. Das ist für jeden Körper

K

trivial.
Die Behauptung gelte nun für ein

n \geq 1

.
Wir zeigen sie für

n + 1

:
Sei

V = K^{n + 1}

. Die Hyperebenen

V_{1}, \dots, V_{m}

sind die Kerne von
Linearformen

V_{i} = \ker (L_{i})

mit

L_{i} (x) = L_{i} (x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}) = a_{i 0} x_{0} + a_{i 1} x_{1} + \dots + a_{i n} x_{n}

.
Wir zeigen, dass es ein

x = (x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n})^{T} \in K^{n + 1}

gibt mit

L_{i} (x) \neq 0

für alle

i = 1, \dots, m

.
DieLinearformen

L_{i}

seien so numeriert, dass

(a_{i 1}, \dots, a_{i n}) \neq (0, \dots, 0)

für

1 \leq i \leq r

ist und

(a_{i 1}, \dots, a_{i n}) = (0, \dots, 0)

für

r + 1 \leq i \leq m

.

Für

1 \leq i \leq r

gilt: es gibt

x_{1}, \dots, x_{n}

K

, so dass

a_{11} x_{1} + \dots + a_{1 n} x_{n} \neq 0

. . . . . . . . . . . . . . .

(*)

a_{r 1} x_{1} + \dots + a_{r n} x_{n} \neq 0

.

Dies gilt nach Induktionsvoraussetzung, da sonst

K^{n}

Vereinigung von

r

Hyperebenen wäre.

Für

r + 1 \leq i \leq m

gilt

a_{i 0} \neq 0 (* *)

.

Wegen

(*)

und

(* *)

ist dann

P (X) := \prod_{i = 1}^{m} (a_{i 0} X + a_{i 1} x_{1} + \dots a_{i n} x_{n})

nicht das Nullpolynom und hat daher nur endlich viele Nullstellen ...

Gruß ermanus

sranthrop aktiv_icon

15:30 Uhr, 31.05.2017

Das ist wohl eine Frage aus Würzburg ;-)

Also: Wenn

K

endlich ist, dann ist auch

V

endlich (warum)? Also können wir

V = {0, x_{1}, \dots, x_{n}}

schreiben mit

x_{k} \neq 0

. Dann sind

U_{k} := 〈 x_{k} 〉

eindimensionale (und damit echte) Unterräume von

V

, und es gilt

V = U_{1} \cup \dots \cup U_{n}

.

Jetzt zur Rückrichtung (Beweis durch Kontraposition). Wir nehmen also an,

V = U_{1} \cup \dots \cup U_{n}

für echte Unterräume

U_{1}, \dots, U_{n}

, aber

K

ist unendlich. OBdA sei

U_{1}

keine Teilmenge von

U_{2} \cup \dots \cup U_{n}

, denn sonst lassen wir

U_{1}

einfach weg und nummerieren um.
Nun sei

x \in U_{1}

beliebig, aber fest. Dann gibt es nach Annahme ein

y \in V ∖ U_{1}

. Für

α \in K ∖ {0}

ist dann

x + α y \notin U_{1}

(warum?), und da

K

unendlich ist erhält man auf diese Weise unendlich viele verschiedene (warum?) Vektoren

x + α y

, die nicht in

U_{1}

liegen. Also müssen diese unendlich vielen Vektoren in

U_{2} \cup \dots \cup U_{n}

liegen, und da die Vereinigung aber nur aus endlich vielen Mengen besteht, muss eine dieser Mengen, sagen wir

U_{k}

für ein

k \in {2, \dots, n}

unendlich viele Vektoren der Form

x + α y

enthalten. Dann gilt

y \in U_{k}

(warum?) und schließlich

x \in U_{k}

. Insbesondere folgt

x \in U_{2} \cup \dots \cup U_{n}

. Da wir mit einem beliebigen

x

gestartet sind folgt

U_{1} \subset U_{2} \cup \dots \cup U_{n}

, im Widerspruch zur Annahme.

Man beachte: Dieser Teil des Beweises (und damit auch die zugehörige Behauptung) gilt auch, wenn

V

unendliche Dimension hat!

matheclown aktiv_icon

17:19 Uhr, 31.05.2017

Danke an alle!
Hab's verstanden! :-)

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