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Vereinigung kompakter Mengen wieder kompakt

Universität / Fachhochschule

Algebraische Topologie

Mengentheoretische Topologie

Tags: abgeschlossen, Abgeschlossenheit, Algebraische Topologie, kompaktheit, Mengentheoretische Topologie

 
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einspluszwei

einspluszwei aktiv_icon

18:05 Uhr, 28.11.2018

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Hallo,

folgende Aufgabenstellung:

Zeige: Ist (X,O) ein hausdorffscher topologischer Raum, K,L⊆X kompakt, dann auch K∪L kompakt.

Ansatz:
K und L sind beide abgeschlossen da kompakt. Also sind alle Punkte k∈K und l∈L Berührpunkte von K bzw. L .
Ist nun K∪L, dann k∈K∪L und l∈K∪L auch Berührpunkte der Menge K∪L. Demnach ist K∪L abgeschlossen und da K∪L⊆X ist K∪L kompakt.


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
ermanus

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18:17 Uhr, 28.11.2018

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Hallo,
wieso soll aus der Abgeschlossenheit von K∪L die Kompaktheit
von K∪L folgen?
Gruß ermanus
einspluszwei

einspluszwei aktiv_icon

18:26 Uhr, 28.11.2018

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Wenn K∪L abgeschlossen ist und zusätzlich beschränkt, da die die Vereinigung von beschränkten Mengen ja wieder beschränkt ist, dann kann ich folgern, dass K∪L kompakt ist oder?

Gruß
einspluszwei
Antwort
ermanus

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18:30 Uhr, 28.11.2018

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Du bist nicht im ℝn. Daher ist
"kompakt" nicht äquivalent zu "beschränkt und abgeschlossen".
Du musst vielmehr die Überdeckungseigenschaft verwenden ...
Frage beantwortet
einspluszwei

einspluszwei aktiv_icon

18:32 Uhr, 28.11.2018

Antworten
Ah ok, dann funktioniert das so nicht.

Das mit der Überdeckung habe ich schon hinbekommen, habe überlegt ob es eine andere Lösung gibt.

Danke und Gruß
einspluszwei