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Vereinigung kompakter Teilmengen
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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Hallo,Kann mir jemand sagen ,wie man beweisen kann,dass jede endliche Vereinigung kompakter Teilmengen eines metrischen Raumes wieder kompakt ist?Wäre über Eure Hilfe sehr dankbar. |
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anonymous 23:53 Uhr, 30.11.2005 |
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Hallo. Benutze den Satz, dass in einem metrischen Raum jede Menge K kompakt ist genau dann, wenn jede Folge in K eine konvergente Teilfolge hat. Seien also K1,...Kn kompakt im metrischen Raum (M,d). Ist nun (x_n) eine Folge in der Vereinigung von K1 bis Kn, so gibt es jedenfalls ein 1 <= j <= n, so dass wir eine Teilfolge (x_n(l))_l konstruieren können, so dass die Teilfolge (x_n(l)) in Kj liegt (d.h. x_n(l) Element von Kj für alle l). (Das kann man auch induktiv beweisen, und das geht nur, weil es sich um eine endliche Vereinigung handelt). Diese Teilfolge (x_n(l)) ist also eine Folge in dem Kompaktum Kj, also gibt es davon wieder eine Teilfolge (x_n(l(m)))_m, die in K_j konvergiert. Also hat (x_n) eine Teilfolge, die in K_j konvergiert, folglich hat (x_n) auch eine Teilfolge, die in der Vereinigung von K1 bis Kn konvergiert. Folglich ist diese Vereinigung kompakt, da (x_n) eine beliebige Folge daraus war! |
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anonymous 00:10 Uhr, 01.12.2005 |
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| Kann man nicht einfach sagen für K=Vereinigung aller Ki, i=1..n, sei eine offene Überdeckung gegeben. Da diese K überdeckt und Ki Teilmenge von K, so überdeckt sie jedes einzelne Ki. Da Ki kompakt, existiert jeweils eine endliche Teilüberdeckung und da K endliche Vereinigung der Ki, ist die endliche Vereinigung aller endlichen Teilüberdeckungen eine endliche Teilüberdeckung der ursprünglichen Überdeckung, die K überdeckt. Finde ich etwas einfacher. | |
anonymous 12:23 Uhr, 01.12.2005 |
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Hallo. Ja, das geht auch, das ist der topologische Beweis. Ich finde ihn genauso einfach wie den über die Teilfolgen. In der Analysis arbeitet man aber oft bei metrischen Räumen mit den Teilfolgen anstatt über die topologische Definition, daher dachte ich, dass dieser gewünscht sei. Dein Beweis ist natürlich vollkommen korrekt, man sollte vielleicht noch erwähnen, dass endliche Vereinigungen endlicher Mengen wieder endlich sind (vielleicht hast Du das auch), sonst könnte man auf die Idee kommen, dass man deinen Beweis auch für unendliche Vereinigungen kompakter Mengen analog führen könnte (was dann aber nicht mehr geht)! Gruß, Weißnix |
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