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Vereinigung offener Elementarmengen des R^d
Universität / Fachhochschule
Maßtheorie
Tags: Analysis, Maßtheorie, MATH, Mathematik, offene Mengen
 
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anonymous 17:40 Uhr, 16.11.2020  |
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Hallo! Es geht darum, folgende Aussage zu zeigen: Jede offene Teilmenge ist eine abzählbare Vereinigung von offenen Elementarmengen. Das habe ich bis jetzt. Mir ist auch irgendwie klar, dass es so ist. Nur weiß ich nicht wie ich das formulieren soll. Da dicht in liegt finde ich zu jedem Folgen rationaler Zahlen, die gegen a (von oben) bzw. gegen (von unten) konvergieren. Dann ist schonmal: Und da abzählbar ist, ist es auch diese Vereinigung. Das wäre das erstmal schon für den Fall . Außerdem sind Elementarmengen endliche Vereinigungen von (hyper?-)Intervallen. Also im nennt man . ein Rechteck ein Intervall. Schaue ich mir jetzt eine beliebige offene Teilmenge an könnte ich theoretisch so ähnlich argumentieren. Ich nehme mir quasi Folgen rationaler Zahlen nehmen, die gegen die Ränder von A konvergieren und diese Folgen dann wieder in Intervalle verpacken, sodass die Vereinigung des Kartesischen Produktes dieser Intervalle eben A ist... Ich weiß aber nicht, wie ich das aufschreiben soll... Ich hoffe ihr könnt mir ein bisschen helfen... DANKE!! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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ist eine abzählbare dichte Teilmenge für jedes . Wenn jetzt offen ist, betrachten . ist natürlich abzählbar und dicht in . Für jeden Punkt aus gibt's eine offene Elementarmenge (Quader) mit Zentrum in , die komplett in liegt. Da dicht in ist, folgt und das ist eine abzählbare Vereinigung. |
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anonymous 18:38 Uhr, 16.11.2020 |
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WOW vielen Dank!! Hat mir sehr geholfen! |
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