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Verfahrensfehler der trapezformel

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 12. Klassenstufe

Tags: Fehler, Numerische Integration, trapezformel, verfahrensfehler

Kinkilla aktiv_icon

15:22 Uhr, 02.12.2011

Hey
ich schreibe gerade meine spezialfrage über numerische integration und dort steht zum verfahrensfehler der trapezformel:

e \leq \frac{{(b - a)}^{3}}{12} n^{2} \cdot max (f''_{[a; b]})

nun meine frage gibt es dazu eine herleitung die verständlich und machvollziehbar ist ohne mathematik an der uni zu haben???

lg kinkilla

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

16:06 Uhr, 02.12.2011

Betrachte den einfachsten Spezialfall:

a = 0, b = 1, n = 1

f (a) = f (b) = 0

.
Der allgemeine Fall ergibt sich durch Dehnen, Strecken, Zusammensetzen usw., was auf die Gültigkeit der Abschätzung keinen Einfluss hat.

Die Frage lautet also:
Wie groß kann

\int_{0}^{1} f (x) d x

maximal werden, wenn

f (0) = f (1) = 0

bekannt ist sowie

| f'' (x) | \leq c

?
Da

f

auf

[0,1]

stetig ist, nimmt

f

dort sein Maximum an, und zwar im Inneren von

[0,1],

da sonst das Integral insgesamt nicht einmal positiv werden kann.
Es sei also

x_{0}

die Maximalstelle und

f (x_{0}) = y_{0}

.
Dann ist

f' (x_{0}) = 0

.
Es folgt

f' (x_{0} + h) \leq | h | \cdot c,

denn nach dem Zwischenwertsatz muss an einer Stelle zwischen

x

und

x + h

die Ableitung von

f'

(also

f'')

den Wert

\frac{f' (x_{0} + h) - f' (x_{0})}{h}

haben.
Ähnlich folgt hieraus weiter

| f (x_{0} + h) - y_{0} | \leq \frac{1}{2} \cdot c \cdot h^{2}

Hieraus sowie aus

f (0) = f (1) = 0

ergeben sich Einschränkungen an

y_{0}

.
Man kann sich klar machen, dass der "worst case" vorliegt, wenn

x_{0} = \frac{1}{2}

und

y_{0} = \frac{c}{8}

bzw. genauer

f (x) = \frac{c}{8} - \frac{1}{2} \cdot c \cdot {(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{c}{2} \cdot x \cdot (1 - x)

.
Jetzt rechne mal für dieses "worst case"

f

das korrekte Integral

\int_{0}^{1}

aus

Kinkilla aktiv_icon

16:44 Uhr, 02.12.2011

ok eine frage hätte ich erstmal dazu:
was hast du als

c

angesetzt???

hagman aktiv_icon

17:18 Uhr, 02.12.2011

Hätte ich sagen sollen. Da ich

| f'' (x) | \leq c

verwenden möchte, setze ich natürlich

c = max_{x \in [0,1]} f'' (x)

Kinkilla aktiv_icon

18:55 Uhr, 02.12.2011

ja ok dann ist

\int f_{x}

im interval

[1; 0]

mit

f_{x} = \frac{c \cdot x \cdot (1 - x)}{2}

\int f_{x} = \frac{c}{12}

hagman aktiv_icon

13:57 Uhr, 03.12.2011

Genau. Das war jetzt alles kein ganz strenger Beweis, zeigt aber immerhin, woher diese

\frac{1}{12}

in der gesuchten Abschätzung kommen

Kinkilla aktiv_icon

14:50 Uhr, 03.12.2011

und der richtige beweis würde meine fähigkeiten übersteigen oder???

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