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Vergleichskriterium, mache ich das richtig?

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Petra1 aktiv_icon

01:46 Uhr, 31.03.2014

Hallo,

ich bräuchte bitte eure Hilfe!

Kann mir jemand sagen ob meine Rechnung so richtig is?

Die Aufgabenstellung lautet:

Untersuchen Sie folgende Reihe auf ihr Konvergenzverhalten.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{cos (\frac{n^{2}}{2} \cdot π) + 1}{{(n^{2})}^{\frac{5}{4}}}

Ich habe nach einer konvergenten Majorante gesucht.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{cos (\frac{n^{2}}{2} \cdot π) + 1}{{(n^{2})}^{\frac{5}{4}}} \leq | \frac{2 + 1}{{(n^{2} - 1)}^{\frac{5}{4}}} |

| \frac{2 + 1}{{(n^{2} - 1)}^{\frac{5}{4}}} | = | \frac{3}{{(n^{2} - 1)}^{\frac{5}{4}}} |

lim_{n \to \infty} | \frac{3}{{(n^{2} - 1)}^{\frac{5}{4}}} | = \frac{3}{\infty} = 0

Majorante ist konvergent, somit ist auch meine Reihe konvergent!

Ist das richtig?

Vielen Dank im Vorraus!

Lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

07:01 Uhr, 31.03.2014

Hallo,

wie das mit der Majorante funktioniert, hast Du noch nicht ganz begriffen, das kann man daran sehen, dass Du als Majorante einer Reihe nicht eine majorierende Reihe angibst, sondern einen Term! Zudem ist in dem Term der Laufindex der Reihe als Variable verbastelt, so dass Du letztendlich, als Du gemerkt hast, dass da noch das

n

drin steckt, noch den Grenzwert hinzuziehst. Auch nicht wirklich nachvollziehbar ist, wie in Deiner falschen abschätzung die Zahl "2" als einer der Summanden im Zähler entstanden ist, vom Kosinus allein kann die ja kaum kommen, da der niemals größer als 1 wird.

Bei dieser Summe hilft es, sich zunächst mal Gedanken zu machen, ob man nicht den unhandliche Kosinus los wird. Was ist denn, wenn

n

gerade ist, dann ist

n^{2}

durch 4 teilbar und

\frac{n^{2}}{2}

immer noch eine gerade Zahl. Und alle geradzahligen Vielfachen von

π

ergeben im Kosinus den selben Wert wie

cos (0) = 1

. Und wenn

n

ungerade ist, dann ist

n^{2}

ungerade und als

4 \cdot k + 1

oder

4 \cdot k + 3

darstellbar. Damit ist

\frac{n^{2}}{2}

darstellbar mit ganzem

k

als

2 \cdot k + \frac{1}{2}

oder

2 \cdot k + \frac{3}{2}

und somit ergibt sich für das

π

-fache dieser Zahl, dass der Kosinus gleich

cos (\frac{1}{2} \cdot π) = 0

oder

cos (\frac{3}{2} \cdot π) = 0

ist. Mit anderen Worten: Den Kosinus wird man los! Bei den geraden

n

steht im Zähler

1 + 1 = 2,

bei den ungeraden

n

steht dort

0 + 1 = 1,

so dass man mit dem Zähler 2 jeden Summanden nach oben abschätzen kann:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{cos (\frac{n^{2}}{2} \cdot π) + 1}{{(n^{2})}^{\frac{5}{4}}} \leq \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2}{{(n^{2})}^{\frac{5}{4}}}

Bei dieser Summe kann man den Nenner noch einfach zusammenfassen und dann sollte es klar sein, wie man hier die Konvergenz einfach nachweisen kann.

Petra1 aktiv_icon

07:57 Uhr, 31.03.2014

Danke vielmals!

Das mit dem

cos (n^{2} + \frac{π}{2})

habe ich jetzt verstanden!

Ich hätte das jetzt so angeschrieben

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{cos (\frac{n^{2}}{2} \cdot π) + 1}{{(n^{2})}^{\frac{5}{4}}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2}{{(n^{2})}^{\frac{5}{4}}} \leq \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2}{{(n)}^{\frac{5}{4}}}

Laut Definition konvergiert die Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}

genau dann wenn

x > 1

ist.

Also ist die Konvergenz der Ausgangsreihe damit bewiesen oder?

Lg

Petra1 aktiv_icon

08:00 Uhr, 31.03.2014

Danke vielmals!

Das mit dem

cos (n^{2} + \frac{π}{2})

habe ich jetzt verstanden!

Ich hätte das jetzt so angeschrieben

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{cos (\frac{n^{2}}{2} \cdot π) + 1}{{(n^{2})}^{\frac{5}{4}}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2}{{(n^{2})}^{\frac{5}{4}}} \leq \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2}{{(n)}^{\frac{5}{4}}}

Laut Definition konvergiert die Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}

genau dann wenn

x > 1

ist.

Also ist die Konvergenz der Ausgangsreihe damit bewiesen oder?

Lg

Petra1 aktiv_icon

15:45 Uhr, 31.03.2014

Kann mir bitte jemand sagen ob das stimmt?

Danke!

Lg

pwmeyer aktiv_icon

19:42 Uhr, 31.03.2014

Hallo,

das Gleichheitszeichen zwischen den beiden Reihen ist natürlich falsch, es handelt sich ja um eine Abschätzung.

Um bei Korrekteuren nicht den Eindruck zu riskieren, man habe etwas vergessen, kann man noch erwähnen:

Wegen

- 1 \leq cos (x) \leq 1

für alle

x \in ℝ

ist

| cos (\frac{n^{2}}{2} \cdot π) + 1 | \leq 2

Gruß pwm

Petra1 aktiv_icon

04:11 Uhr, 01.04.2014

Ok danke!

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