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Verkettung von Funktionen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Funktion, Verkettung

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22:58 Uhr, 25.09.2017

Ich habe eine Frage zum Thema Verkettung. Ich verstehe nicht ganz wie man eine "verkettete" Funktion wieder "entkettet". Also

z . B

f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}

Die Funktion

f

kann als Verkettung u°v aufgefasst werden. Nennen sie Funktionen

u

und

v

.

und ein schwereres Beispiel:

f (x) = {(sin (x))}^{2}

Hoffe jemand kann mir helfen, ich sitze hier schon seit 3 Stunden und versuche mir das Thema durch Videos und co beizubringen, aber ich versteh's einfach nicht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

ElChupanibre aktiv_icon

23:27 Uhr, 25.09.2017

Moin.

Verkettet heißt ja, dass mit einer Funktion etwas "angestellt" wird, sie wird nochmal durch eine andere Funktion "gejagt". In deinem ersten Beispiel ist es der Nenner, der als eigenständige Funktion aufgefasst werden kann.

Wenn also

v (x) = x^{2} - 1

dann ist

f (x) = \frac{1}{v (x)}

damit ist

u (x) = \frac{1}{x}

Jetzt ersetzt du das "x" in

u (x)

durch

v (x)

und hast wieder dein

f (x) . .

.

Beim Ableiten identifizierst du als erstes mal

u (x)

und

v (x)

Bei die also

u (x) = \frac{1}{x} = x^{- 1}

v (x) = x^{2} - 1

Dann leitest du beide ab:

u' (x) = - x^{- 2}

v' (x) = 2 x

und wendest die Kettenregel an:

u' (v (x)) \cdot v' (x)

which is:

f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} \cdot 2 x = - \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot 2 x = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

Beispiel 2:

f (x) = {(sin (x))}^{2}

u (x) = x^{2}

v (x) = sin (x)

u' (x) = 2 x

v' (x) = cos (x)

Zusammensetzen:

f' (x) = 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x)

Der Witz ist halt, dass bei

u' (x)

gar nicht

x

als solches eingesetzt wird, sondern

x

steht hier für die innere Funktion, also für

v (x)

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23:45 Uhr, 25.09.2017

Könnte man die erste Funktion auch so zerlegen?

: u (x) = x^{2}

und

v (x) = \frac{1}{x - 1}

Ich hätte mir dabei jetzt gedacht, dass man das

x

bei der Funktion von

v

durch das

x^{2}

von der Funktion

u

ersetzt und dann wieder die Ursprungsfunktion hat. Übrigends von ableiten hat unsere Lehrerin noch nichts gesagt, heute haben wir mit dem Thema angefangen und haben nur mitgeteilt bekommen, wie man zwei Funktionen verkettet, mehr leider nicht

: (

Ansonsten habe ich den oberen Teil verstanden :-), aber die Aufgabe mit sinus noch nicht

LG Daniel

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23:50 Uhr, 25.09.2017

Könnte man auch, ja. Bringt aber nix hinsichtlich des Ableitens. Wenn ihr das noch nicht gemacht habt, kannst du das Sinus-Geraffel auch noch nicht verstehen. Wenn es nur um die Verkettung geht, kannst du aber erkennen, dass

sin (x)

quadriert wird.

Daher ist die innere Funktion

v (x) = sin (x)

und die äußere ist

u (x) = x^{2}

. Wenn du in

u (x)

das

x

durch

v (x),

also durch

sin (x)

ersetzt, ist die Funktion ja wieder komplett.

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23:54 Uhr, 25.09.2017

Anderes Beispiel:

f (x) = \sqrt{x^{2} - 3 x}

hier ist die äußere Funktion die Wurzel, die innere ist

x^{2} - 3 x

.

Also

u (x) = \sqrt{x}

und

v (x) = x^{2} - 3 x

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23:55 Uhr, 25.09.2017

Jo habs verstanden danke :-)

Wie wäre es aber bei der Funktion hier:

sin (x^{2})

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23:58 Uhr, 25.09.2017

Die äußere ist hier

sin (x),

die innere

x^{2}

Spiegeleitechnik: Kreise die ganze Funktion ein (Eiweiß) und finde innen drin eine eigene Funktion (Eigelb). Äußere Funktion = Eiweiß, innere Funktion = Eigelb. Bisschen bescheuert, aber klappt.

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00:02 Uhr, 26.09.2017

Ok, ich glaub ich habs jetzt endgültig verstanden. Muss mich morgen nochmal reindenken, Mitternacht ist nicht die beste Zeit zum Mathe lernen

\land

Aber geht ja, hab morgen früh Freistunden :-D) Danke vielmals für die Hilfe, auch noch so spät Abends :-)

ElChupanibre aktiv_icon

00:03 Uhr, 26.09.2017

Kein Ding. Immer gerne. Bin eher Nachtmensch ;-)

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