Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Verkettungen von Funktionen, Inj., Surj. u. Bij.

Verkettungen von Funktionen, Inj., Surj. u. Bij.

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Bijektivität, Funktion, Injektivität, surjektivität, Verkettung

meisterquitte aktiv_icon

05:33 Uhr, 23.03.2012

Aufgabe: Beweisen Sie: Seien

f : A \to B

und

g : B \to C

Abbildungen. Wenn beide Abbildungen injektiv (surjektiv, bijektiv) sind, so gilt das auch für ihr Produkt gf

Hallo Leute,

ich wollte wissen, ob meine Beweise korrekt sind. Vielen Dank schon mal im Voraus für euer Engagement.

Vor.:

f : A \to B

und

g : B \to C

Beh.:
i) gf ist injektiv, wenn f und g injektiv sind.
ii) gf ist surjektiv, wenn f und g surjektiv sind.
iii) gf ist bijektiv, wenn f und g bijektiv sind.

Bew.:

i) Nach der Definition von Injektivität gilt: Seien

\forall x_{1}, x_{2} \in A \land f (x_{1}), f (x_{2}) \in B : x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \neq f (x_{2})

Analog gilt:

y_{1}, y_{2} \in B : y_{1} \neq y_{2} \Rightarrow g (y_{1}) \neq g (y_{2})

\Rightarrow y_{1} = f (x_{1}) \land y_{2} = f (x_{2})

\Rightarrow

gf ist injektiv

ii)

Nach der Definition von Surjektivität gilt: Seien

x \in A \land y \in B : \forall y \exists x : f (x) = y \in B

Analog gilt:

y \in B : \forall z \in C \exists y \in B : g (y) = z

\Rightarrow

gf ist surjektiv

iii)
Aus i) und ii)

\Rightarrow

gf ist bijektiv.

Liebe Grüße

Christoph

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

weisbrot aktiv_icon

17:29 Uhr, 23.03.2012

hallo!
meinst du wirklich das produkt der funktionen

(g \cdot f)

? das würde einige fragen aufwerfen (und würde auch nicht stimmen).. aber es ist wohl die komposition

g \circ f

gemeint.

jedenfalls sieht es so aus als hast du verstanden worum es geht und warum diese sachen gelten, aber deine beweise sind formal nicht ganz konsistent.

besser wäre

z . b . :

seien

x, y \in A, x \neq y \Rightarrow

(wegen

f

injektiv)

\Rightarrow f (x) \neq f (y) \Rightarrow

(wegen

g

injektiv)

\Rightarrow g (f (x)) \neq g (f (y)),

also

g \circ f

injektiv

□

sei

z \in C,

weil

g

surjektiv

\exists y \in B : g (y) = z,

weil

f

surjektiv

\exists x \in A : f (x) = y,

also

(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (y) = z □

iii) ist natürlich absolut richtig.

lg

meisterquitte aktiv_icon

02:39 Uhr, 28.03.2012

Danke nochmal für die Hilfe.

989223

987406

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?