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Verklebung zweier glatter Funktionen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

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18:57 Uhr, 15.02.2019

Das ist eine Übersetzung von einer Frage, die ich anderswo bereits gestellt habe. Leider werden nicht alle Latexbefehle unterstützt. Für ein besseres Verständnis meiner Frage, also um die Formeln besser lesen zu können verweise ich auf den Link:

math.stackexchange.com/questions/3114177/questions-on-the-real-bump-function-and-conjuction-of-smooth-functions

Bevor ich dir meine Frage stelle, die ich markiert habe mit * *, werde ich dir sagen, was ich bisher schon gesammelt habe.

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In einem früheren Ergebnis habe ich gezeigt, dass die Buckelfunktion auch Bumpfuktion glatt ist. Die Bumpfunktion ist auf einem Intervall von

[a, b]

definiert mit

ψ (x) \ b e g i n c a s e s e^{- \frac{1}{x - a}} e^{- \frac{1}{b - x}} & a<x<b

Für weitere Details verweise ich auf:

math.stackexchange.com/questions/3113076/calculate-the-n-th-derivative-for-the-bump-function

Ich weiß auch, dass die Bump-Funktion normalisiert werden kann, d.h.
wenn

a < b < c < d

kann ich eine glatte Funktion

ψ

mit den Eigenschaften konstruieren.

φ (x) \ b e g i n c a s e s = 1 & b \leq x \leq c

Die Funktion, die ich mir ausgedacht habe, ist:

φ (x) = ψ_{0} (x) \ b e g i n c a s e s \frac{ψ_{1} (x)}{ψ_{2} (x) + ψ_{1} (x) + ψ_{3} (x)} & a<x<d

ψ_{1} (x) \ b e g i n c a s e s e^{- \frac{1}{x - a}} e^{- \frac{1}{d - x}} & a<x<d

ψ_{2} (x) \ b e g i n c a s e s e^{- \frac{1}{x - a}} e^{- \frac{1}{b - x}} & a<x<b

ψ_{3} (x) \ b e g i n c a s e s e^{- \frac{1}{x - c}} e^{- \frac{1}{d - x}} & c<x<d

Was ich gedacht habe, ist, wenn wir einen Wert

x

haben, der

a < x < b \ t e x t o d e r c < x < d

ist, dann ist der Nominator größer als der Dominator i.e

ψ (x) \in (0, 1)

, weil alle Komponenten auch positiv sind, wenn wir einen Wert haben, der

c \leq x \leq d

ist, dann sind

ψ_{2}

und

ψ_{3}

Null und der Nenner und der Nominator sind identisch, d.h.

ψ (x) = 1

. Da die Funktion ein Produkt aus glatten Funktionen ist, ist

ψ_{0}

selbst wieder glatt.

Ich bin mir jedoch nicht ganz sicher, als ich diese Funktion auf Wolfram Alpha aufgezeichnet habe:

(e^{-1/(x+0.5)}*e^{-1/(0.5-x)})/((e^{-1/(x+0.5)}*e^{-1/(-0.25-x)})+(e^{-1/(x+0.5)}*e^{-1/(0.5-x)})+(e^{-1/(x-0.25)}*e^{-1/(0.5-x)})))

Ich bekam eine Bump-Funktion, aber die Werte wurden nicht wie ursprünglich vorgesehen normalisiert.

Für

a < b

gibt es auch eine Funktion

τ

, für die wir folgendes haben

τ (x) \ b e g i n c a s e s = 1 & x \geq b

Wiederum definiere ich in diesem Fall zunächst zwei Helferfunktionen.

τ_{1} (x) = \ b e g i n c a s e s e^{- \frac{1}{x - a}} & if x > a

τ_{2} (x) = \ b e g i n c a s e s e^{- \frac{1}{x - a}} e^{- \frac{1}{b - x}} & if a < x < b

Dann ist die gewünschte Funktion

τ (x) = \frac{τ_{1} (x)}{τ_{1} (x) + τ_{2} (x)}

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**Jetzt meine Frage**

Seien

f, g : ℝ \to ℝ

zwei glatte Funktionen

Zu zeigen: Es gibt eine glatte Funktion

h : ℝ \to ℝ

, für die wir haben.

h (x) \ b e g i n c a s e s = f (x) &, if x \leq a

Wenn ich jetzt eine Funktion

τ

für das fehlende Intervall

(a, b)

in der oben genannten Mode erstelle, dann habe ich

lim_{x ↓ a} τ (x) = f (a)

und

lim_{x ↑ a} τ (x) = g (b)

wie gewünscht, aber das Problem ist zu zeigen, dass es glatt ist, muss die Funktion

h (x)

auch die Bedingung erfüllen:

lim_{x ↓ a} τ^{(n)} (x) = f^{(n)} (a) \land lim_{x ↑ b} τ^{(n)} (x) = g^{(n)} (b) \ t e x t f o r e v e r y n - t h d e r i v a t i v e

Ich weiß nicht, wie ich das mit den Ergebnissen, die ich bereits habe, beweisen soll. Bzw. wie ich ansetzen soll, kann mir jemand ein Tipp geben?

Übersetzt mit DeepL Übersetzer

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