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Verknüpfung Verkettung

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

janajulia aktiv_icon

23:29 Uhr, 12.06.2019

Ich habe

f (n) = {n + 1

für

n

gerade

{n - 1

für

n

ungerade

(Soll eine größere Klammer sein.
Wie stelle ich die Verkettung

f o f

auf? Und wie kann ich damit die Umkehrfunktion bilden?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

08:41 Uhr, 13.06.2019

Hallo,

nimm mal beispielhaft konkrete Zahlen (mindestens 3 gerade und 3 ungerade).
Rechne dann

f

und

f \circ f

aus. Dann siehst du vermutlich schon.

Mfg Michael

Gerd30.1 aktiv_icon

09:02 Uhr, 13.06.2019

n

gerade:

f o f (n) = f (f (n)) = f (n + 1)) = f (n)

n

ungerade:

f o f (n) = f (f (n)) = f (n - 1)) = f (n)

also

f o f = f

Für die Umkehrfunktion

f^{- 1}

gilt

f o f^{- 1}

=id, also.....

ermanus aktiv_icon

09:33 Uhr, 13.06.2019

Hallo,
da hätte Gerd30.1 doch nochmal genauer hingucken sollen,
was er da geschrieben hat :(
Gruß ermanus

janajulia aktiv_icon

10:31 Uhr, 13.06.2019

Ja also wenn ich gerade zahlen einsetze ist das Ergebnis ungerade (bspw für 2: f(n+1•f(n-1))

\to

f(3•f(1)) also

= 3

?) und bei ungeradem

n

kommt dann etwas gerades raus.
Aber wie hilft mir das die umkehrfunktion zu bilden? Mir wurde als Tipp gegeben die Verknüpfung dazu zu verwenden

ermanus aktiv_icon

10:45 Uhr, 13.06.2019

Mach es doch so, wie Michael vorgeschlagen hat, damit du "Erfahrungen sammeln" kannst.
Was macht denn

f \circ f

0 \mapsto 0 + 1 = 1 \mapsto 1 - 1 = 0

1 \mapsto 1 - 1 = 0 \mapsto 0 + 1 = 1

2 \mapsto 2 + 1 = 3 \mapsto 3 - 1 = 2

,

usw ...

Daran musst du doch etwas erkennen können ...

Gruß ermanus

janajulia aktiv_icon

11:43 Uhr, 13.06.2019

Also man kann sehen, dass jeder

x

wert einem

y

Wert zugeordnet ist und die Funktion somit bijektiv ist. Oder? Nur ich glaube ich habe noch nicht recht verstanden wie man die Verkettung herstellt und somit darauf kommt...

ermanus aktiv_icon

11:53 Uhr, 13.06.2019

Anhand der Beispiele sollte dir doch nicht entgangen sein,
dass bei 2-maliger Anwendung von

f

die ursprünglichen Zahlen wieder
herauskommen. Das ist das, was dir Gerd30.1 in seinem verunglückten
Beitrag rüberbringen wollte:
Das 2-malige Anwenden von

f

ist dasselbe wie

f \circ f

;
man hat also allgemein:

(f \circ f) (2 m) = f (f (2 m)) = f (2 m + 1) = (2 m + 1) - 1 = 2 m

und

(f \circ f) (2 m + 1) = f (f (2 m + 1)) = f ((2 m + 1) - 1) = f (2 m) = 2 m + 1

f \circ f

bildet also jede Zahl auf sich selbst ab ...
Was ist somit die zu

f

inverse Abbildung ?

Gruß ermanus

janajulia aktiv_icon

16:22 Uhr, 13.06.2019

Ist

f^{- 1} = {y - 1

für

n

gerade

{y + 1

für

n

ungerade ?

ermanus aktiv_icon

16:26 Uhr, 13.06.2019

Du siehst aus mir nicht nachvollziehbaren Gründen
den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Wenn

f

die Reihenfolge der Zahlen verändert und dann nochmal

f

wieder alles in den alten Zustand bringt, wenn also

f \circ f = i d

ist,
dann muss doch

f^{- 1} = f

sein !!!

janajulia aktiv_icon

21:10 Uhr, 20.06.2019

Ok, Dankeschön

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