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Verknüpfung von (abelschen) Gruppen, ist richtig?

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: abelsche Gruppen, invers, kringel, Lineare Abbildungen, neutrales Element, Verknüpfung

asg-2014 aktiv_icon

21:40 Uhr, 04.11.2014

Hallo zusammen,

gegeben ist folgendes:

Sei

G := {a, b, c, d, g, h}

und

\circ : G \times G \to G

eine Verknüpfung mit der Verknüpfungstabelle s. Bild.

Bei einigen Aufgaben bin ich mir nicht sicher bzw. weiß ich nicht weiter:

a) Nennen sie das neutrale Element

e

(G, \circ)

.
Lösung: e = d

b) Bestimmen Sie für alle Elemente in

G

jeweils das Inverse Element.
Lösung:

\overline{a} = h

\overline{b} = b

\overline{c} = g

\overline{d} = d

\overline{g} = c

\overline{h} = a

c) Ist

(G, \circ)

eine abelsche Gruppe? (Geben Sie eine Begründung!)

Lösung: Ja, die Gruppe ist abelsch, da G mit sich selbst verknüpft wird, gilt die Symmetrie.

Reicht dies als Begründung oder muss man wirklich alle fünf Axiome (Abgeschlossenheit, Assoziativität, Neutrales Element, Inverses Element, Symmetrie bzw. Kommutativität) beweisen?

d) Zeigen Sie, dass das Assoziativgesetz für

a, b, c

gilt, d.h. zeigen Sie

(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)

.

Lösung:
Linke Seite:

(a \circ b) = g

\Rightarrow (a \circ b) \circ c = g \circ c

g \circ c = d

\Rightarrow (a \circ b) \circ c = d

Rechte Seite:

a \circ (b \circ c)

(b \circ c) = h

\Rightarrow a \circ (b \circ c) = a \circ h

a \circ h = d

\Rightarrow a \circ (b \circ c) = d

\Rightarrow (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)

q . e . d

e) Nennen Sie alle Quadrate in

(G, \circ)

, d.h. Elemente

x \in G

der Form

x = y \circ y

mit

y \in G

.

Lösung:

c = a \circ a

d = b \circ b

g = c \circ c

d = d \circ d

c = g \circ g

g = h \circ h

f) Bestimmen Sie das kleinste

k \in ℕ

mit

a^{k} = e

.

g) Bestimmen Sie das kleinste

l \in ℕ

mit

c^{l} = e

.

Bei f) und g) weiß ich leider keine Lösung.
Da in der Verknüpfungstabelle nur

a \circ a = c

bzw.

c \circ c = g

(für Aufgabe g)) vorkommt, und keine

a^{l} = d

bzw.

c^{l} = d

, würde ich sagen,

k = 0

und

l = 0

ist. Aber das kommt mir zu einfach vor.

Kann mir bitte jemand Tipps und Hinweise geben, wo mein Gedankefehler liegt bzw. ob ich bei der Lösung der anderen Aufgaben irgend einen Fehler habe?

Viele Dank vorab

Liebe Grüße

Asg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

abakus

22:22 Uhr, 04.11.2014

"Lösung: Ja, die Gruppe ist abelsch, da..."
Das ist gegen jede Logik. Bis jetzt ist noch nicht einmal bewiesen, dass es überhaupt eine Gruppe ist. Zeige also die Gültigkeit aller Gruppenaxiome.
WENN es eine Gruppe ist, dann ist sie laut gegebener Verknüpfungstabelle auch kommutativ, da dort die zur Hauptdiagonale symmetrischen Elemente jeweils gleich sind.