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Verknüpfungen/ Homorphismus 1. Semester
Universität / Fachhochschule
Tags: Homorphismus / Verknüpfung
 
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Hallöchen ich habe mal wieder eine Aufgabe zum verhassten thema verknüpfungen bekommen. wäre schön wenn einem von euch eine lösung einfallen würde oder gar einer es schaffen würde mir dieses thema näher zu bringen die aufgabe lautet wie folgt:
Wir betrachten einen Homomorphismus f : V --> W von K-Vektorräumen. Zeigen Sie: Es existiert genau
wär lieb wenn mir jemand helfen könnte danke schon mal kat |
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Hallo kat, nun kam ja doch noch ein Feedback zu einer früheren Aufgabe. Kann es sein, dass es bei dieser Aufgabe g o f = id_V und nicht f o g = id_V heissen muss? Gruß Rentnerin |
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ja ich war schon lange nicht mehr hier, und hatte die antwort leider auch erst jetzt gelesen, nun ja, also bei der gestellten aufgabe kann es schon sein dass es g o f heißt es kamen mehrere e-mails mit änderungen, daher wurde es ein wenig unübersichtlich. gäbe es eine gute lösung für diesen fall? kannst du mir erklären, was die aufgabe an sich bedeutet? / was ich zeigen soll(in deutsch ;-) ) wär ganz nett, danke schon mal lg kat |
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Ich versuche es einmal in deutsch. Du hast zwei VR V und W und eine lineare Abbildung (Homomorphismus) f von V nach W. Das sind also die verknüpfungsrespektierenden Abbildungen zwischen Vektorräumen. Deine Aufgabe lautet nun wie folgt: Wenn die Abbildung f injektiv ist (gleichbedeutend mit Ker(f) = {0}), dann kann man eine lineare Abbildung g vom VR W in den VR V konstruieren, die die Bilder f wieder auf die Ausgangselemente abbildet und umgekehrt. Erst hast Du ein ganz bestimmtes v_0 aus V, dann bildest Du es mit f auf w_0 = f(v_0) ab; die Abbildung g wird dann das w_0 wieder auf v_0 abbilden. Beweisidee: Du hast zwei Beweise zu führen: a) Wenn f injektiv ist, konstruierst Du eine lineare Abbildung g, die die Bildelemente von f wieder auf sich zurückwirft. b) Wenn Du so ein g hast, das die Bildelemente von f wieder auf sich zurückwirft, dann musst Du f als injektiv nachweisen. Sind die bisherigen Ausführungen verständlich genug? Gruß Rentnerin |
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hm also irgendwie ist das echt nicht mein thema, also wie konstruiere ich eine lineare abbildung auf g? und was heißt idv? und weiß ich nur bei ker(f)={0} dass das injektivität bedeutet oder auch bei anderen werten? was sagt ker eigentlich aus? danke nochmal gruß kat |
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Zur Konstruktion von g: Ich habe nur mitgeteilt, dass man ein solches g konstruieren muss; ich habe noch nicht gesagt, wie das gehen soll. Das kommt noch. idv oder etwas günstiger id_V: Es handelt sich um die identische Abbdilung, das ist jene Abbildung, die jedes Element auf sich selbst abbildet, also allgemein id : A ---> A, id(x) = x. Wenn f : V ---> W und g : W ---> V Abbildungen sind, dann ist g o f : V ---> V (g nach f; erst f dann g) und die kann - muss aber nicht - gleich id_V sein. Der Kern einer linearen Abbildung Ker(f) ist diejenige Menge, deren Elemente durch die Abbildung auf 0 abgebildet werden. Die 0 wird bei einer linearen Abbildung immer auf 0 abgebildet. Wenn weitere Elemente auf 0 abgebildet werden, dann ist die Abbildung nicht mehr injektiv. Als nächstes käme der mathematische Beweis, außer Du hast vorher weitere Fragen. Gruß Rentnerin |
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also das mit ker(f) hab ich jetzt verstanden, genauso das mit id_v ; allerdings habe ich noch eine frage zum folgenden: ist gof : V --> V nur weil gegeben ist, dass gof = id_v ? oder woraus schlussfolgerst du dass g o f von V nach V abbildet?
und heißt der letzte teil meiner aufgabe dann übersetzt: Es existiert genau dann eine lineare abbildung g vom vektorraum W in den vektorraum V g o f = identische abbildung im vektorraum V wenn f injektiv ist ? und noch mal ganz doof gefragt, was heißt vom vektorraum W auf den vektorraum V ich kann mir dass leider nicht praktisch vorstellen, sind das 2 verschiedene koordinatensysteme oder bloß 2 verschiedene " regionen" in einem koordinatensystem? kann man die ganze aufgabe irgendwie bildlich darstellen, oder vielleicht mit beispielfunktionen?
Vielen dank für deine geduld, lg kat |
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Zur Verkettung von Abbildungen ist wohl noch ein Informationsbedarf vorhanden. Nimm doch einmal V = R = W (da kann man zwar V und W nicht unterscheiden, aber es hilft beim Verständnis der Situation), dann gibt es nur relativ wenige lineare Abbildungen f : V ---> W. Es sind genau die, die ein Ausgangselement x mit einer festen Zahl a multiplizieren, also f(x) = a * x. Wenn a = 0 ist, dann ist es wegen f(x) = 0 * x = 0 die Nullabbildung; der Kern ist Ker(f) = V und f ist damit nicht injektiv - klar! Ist a ungleich 0, dann ist f injektiv, da aus a * x = 0 natürlich x = 0 folgt. In diesem Fall gibt es ein g : W ---> V mit g(f(x)) = x für alle x aus V also g o f = id_V. Du musst g konstruieren. Wegen f(x) = a * x soll gelten g(a * x) = x und da g linear sein soll, erhältst Du x = g(a * x) = a * g(x), also g(x) = 1/a * x. Und umgekehrt, wenn es also ein lineares g : W ---> V gibt mit g(f(x)) = x, dann gilt für x_K aus Ker(f): f(x_K) = 0 und damit x_K = g(f(x_K)) = g(0) = 0; der Kern von f besteht also nur aus der 0. Bei diesem einfachen Beispiel kannst Du vielleicht erkennen, worum es sich bei der Aufgabe handelt. Als nächstes nehmen wir V = R und W = R^2 (den Fall V = R^2 und W = R brauchst Du erst gar nicht betrachten, da keine llineare Abbildung f : R^2 ---> R injektiv sein kann!). Wenn f : V ---> W linear ist, dann ist sicherlich wieder f(0) = (0;0) aus R^2 und f(1) ist irgend ein Vektor (x_1;y_1) aus R^2. Wegen der Linearität von f gilt nun wiederum f(x) = f(x * 1) = x * f(1) = (x * x_1; x * y_1). Ist (x_1;y_1) der Nullvektor, dann ist f wieder die Nullabbildung und nicht injektiv; andernfalls ist das Bild von f die Gerade in R^2, die von (x_1;y_1) erzeugt wird und f ist injektiv, da der Nullvektor nur im Fall x = 0 als Bildelement entsteht. In diesem Beispiel lautet also die Aufgabe: Ker(f) = {0} genau dann, wenn es eine lineare Abbildung g : W ---> V (also von R^2 nach R) gibt, dass für alle x aus V gilt: g(f(x)) = x, also g((x * x_1;x * y_1)) = x bzw. x * g((x_1;y_1)) = x für alle x aus V. Diese Bedingung kann in dem Beispiel nur erfüllt werden, wenn (x_1;y_1) durch g auf 1 in R abgebildet wird. Nur auf dieses Beispiel bezogen kannst Du also jetzt die Aufgabenstellung so formulieren: f(1) ungleich (0;0) genau dann und nur dann wenn es eine lineare Abbildung g : R^2 ---> R mit g(f(x)) = x für alle x aus R gibt. Kannst Du die Beispiele nachvollziehen? Wir haben im zweiten Bsp. g noch nicht konstruiert! P.S.: Bei der Verkettung g o f zweier Abbildungen f : V ---> W und g : W ---> U (hier ist U identisch mit V) wird zunächst x aus V durch f auf f(x) aus W abgebildet; anschließend bildet g das Element f(x) aus W nach g(f(x)) aus U ab. Die beiden VR sind schon verschiedene Koordinatensysteme; so kann man es sich zumindest für endlich dimensionale VR vorstellen. Gruß Rentnerin |
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also ich denke dass ich die beispiele begriffen habe, danke. ich werde jetzt erst mal auf grund der neuen informationen versuchen die aufgabe zu lösen, meld mich dann später nochmal, danke! gruß kat |
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Hallo kat, ich versuche einmal, die Aufgabe abzuschliessen. Seien also V und W K-Vektorräume und f : V ---> W ein VR-Homomorphismus. i) Sei g : W ---> V ein Homomorphismus mit g o f = id_V, also g(f(v)) = v für alle v aus V. Zu zeigen: Ker(f) = {0}. Sei v aus Ker(f) beliebig, dann gilt f(v) = 0 und damit v = g(f(v)) = g(0) = 0. Damit ist Ker(f) = {0}. ii) Sei Ker(f) = {0}. Zu zeigen: Es gibt einen Homomorphismus g : W ---> V mit g o f = id_V bzw. g(f(v)) = v für alle v aus V. Sei B eine Basis von V (Existenz nach Lemma von Zorn). Dann ist f vollständig und eindeutig festgelegt durch die Bildelemente f(b) mit b aus B. Da Ker(f) = {0}, ist f(B) = {f(b) | b aus B} nicht nur ein Erzeugendensystem sondern sogar eine Basis von Img(f) = U in W (Homomorphiesatz). Die Abbildung f~ : V ---> U, v |---> f(v) (hier wird lediglich der Zielraum von f eingeschränkt!) ist ein VR-Isomorphismus zwischen V und U und damit gibt es die lineare Umkehrabbildung f~^(-1) : U ---> V. Definiere g~ = f~^(-1) : U ---> V, dann gilt: g~(f(v)) = f~^(-1)(f(v)) = v für alle v aus V. g~ erfüllt nun die geforderte Voraussetzung auf U = Img(f), aber W kann eben noch viel größer sein. Daher muss g~ auf ganz W fortgesetzt werden. Als Zwischenschritt kannst Du Dir also folgende Situation vorstellen: f : R^2 ---> R^3 mit Ker(f) = {0}; damit gilt nach dem Dimensionssatz: dim(V) = dim(Img(f)); das Bild von f ist also eine Ebene durch den Ursprung im R^3. Die beiden Basisvektoren e_1 und e_2 von R^2 werden in zwei linear unabhängige Vektoren u_1 und u_2 der Bildebene abgebildet und spannen diese auf. f~ ist die Abbildung von R^2 in die Ebene U des R^3 und g~ ist die Abbildung von U in R^2, die durch g~(u_1) = e_1 und g~(u_2) = e_2 festgelegt ist. Für v aus R^2 gilt g~(f(v)) = v für alle v aus R^2. Kommen wir wieder zur allgemeinen Situation zurück. Ergänze die Basis B_U = {f(b) | b aus B} von U zu einer Basis B_W von W. Dies ist nach dem Lemma von Zorn möglich. Sei nun R der von B_W \ B_U erzeugte UVR in W. Dann ist W = R dir.Sum. U (direkte Summe von R und U). Jeder Vektor w aus W läßt sich eindeutig ausdrücken als w = r + u mit r aus R und u aus U. Definiere nun g(w) = g(r + u) = g~(u) für alle w aus W. g ist linear: g(w_1 + w_2) = g((r_1 + u_1) + (r_2 + u_2)) = g((r_1 + r_2) + (u_1 + u_2)) = g~(u_1 + u_2) = g~(u_1) + g~(u_2) = g(w_1) + g(w_2) (und ebenso das skalare Vielfache!). g beschränkt auf U = g~, also g(f(v)) = g~(f(v)) = v für alle v aus V. Damit ist g definiert und hat die gewünschten Eigenschaften. Gruß Rentnerin P.S.: Für endlich dimensionale VR V und W wäre alles viel einfacher gewesen! |
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Danke du hast mir echt geholfen, ich werde es zwar noch ein paar mal durchlesen müssen aber es scheint doch so zu sein, dass ich jetzt auf jeden fall auch die theorie begriffen hab, danke!!! |
