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Verknüpfungstabelle
Schüler Kolleg, 13. Klassenstufe
Tags: Verknüpfungstabelle
 
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Hallo, ich habe so einige Probleme mit den Verknüpfungstabellen. z.B. ich habe eine Gruppe (G,*) wobei * laut der Profs. Alles sein kann. Jetzt habe ich 2 Elemente in der Gruppe x,y.
Was ich verwirrend finde ist, dass ich zwar die Definitionen für die Gruppe kenne, aber nun nur 2 Elemente habe und gar nicht weiß, was z.B. das neutrale und was ist das inverse Element ist.
Laut Doktorant sollen wir dies tun: x*x=x? // links rechts x^-1 x^-1*x*x=x*x^-1 (x^-1*x)*x=x*x^-1 Jetzt tauchen schon die ersten Probleme auf. Ich denke jetzt an die bekannten Rechenoperationen aus Schule und Abi. Das Inverse in Plus ist -x und in Mal ist , denn -x+x=0, Null ist e in Plus und 1 ist e in mal. Das kann ich aber ja alles nicht anwenden, da ich nicht weiß was "*" eigentlich ist. In der Vorlesung hatten wir auch Verknüpfungstabellen aufgestellt, da gabe es aber immer eine Abbildungsvorschrift. Auch in den Büchern, die ich habe, sind die Tabellen mit Hilfe von Abbildungsvorschriften erstellt worden. Das habe ich aber alles nicht, ich habe nur eine Gruppe (G,*) und x,y die aus G sind.
Wer kann mir also sagen,wie ich solch eine Tabelle erstelle, wenn ich eine Gruppe (G,*) und die Elemente x,y aus G habe??
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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In einem gewissen Sinn (den man mathematisch exakt machen kann) gibt es nur "eine" Gruppe mit 2 Elementen. Daher ergibt die Angabe auch Sinn (und weil du das nicht weißt bist du wahrscheinlich verwirrt). Man kann aber einfach so angefangen, wie der Doktorand das vorgeschlagen hat (was auch immer "*" sein mag). Für das Ergebnis von x*x gibt es 2 Möglichkeiten (die Gruppe besteht schließlich bloß aus 2 Elementen), nämlich x oder y. Wenn nun x*x=x, so kann man "kürzen", d.h. du multiplizierst (z.B. von links -- das ist hier egal, aber im allgemeinen wichtig, weil a*b in Gruppen im Allgemeinen nicht b*a ist) auf beiden Seiten mit , dem inversen Element, das es in jeder Gruppe nach Definition geben muss und erhältst . Man kann in einer Gruppe Klammern setzen wie man will (das Assoziativgesetz aus der Definition), also und ein Element verknüpft mit seinem Inversen ist immer das neutrale Element bezüglich der Gruppenoperation also . Wenn also , so folgt, dass x das neutrale Element bzgl. der Operation ist. Wenn das nicht der Fall ist, so kannst du dir überlegen, dass x dann nicht das neutrale Element ist und somit y das neutrale Element sein muss (weil es ja schließlich eines geben muss). Nun sagt man meistens sowas wie "ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei x das neutrale Element". Das ist jetzt vielleicht schwer zu verdauen. Es gebt einfach darum, dass es letztlich egal ist, wie die Gruppenelemente benannt sind und wir nehmen uns die Freiheit x das neutrale Element sein zu lassen (sonst benennnen wir halt vorher um und bekommen nichts neues). Nun haben wir also das x das neutrale Element ist und y ist von x verschieden (sonst hätten wir ja keine 2 Elemente in der Gruppe). Also muss y*y=x sein, denn sonst wäre ja mit einem analogen Argument wie oben y das neutrale Element, was nicht sein kann. Damit solltest du alle übrigen Verknüpfungen ausrechnen können (denke daran: das neutrale Element ist neutral bezüglich der Operation). Und noch etwas, worauf ich bisher nicht eingegangen bin: was "*" jetzt wirklich ist, ist komplett wurscht für die Argumentation. bezeichnet einfach immer das neutrale Element bezüglich der Operation *. |
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Guten Morgen, als Beispiel für mit und mit der Multiplikation als Verknüpfung. |
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Sorry irena, aber in Deinem Beispiel hast Du übersehen, dass kein inverses Element besitzt. |
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