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Verknüpfungstabelle ausfüllen, Gruppe kommutativ?
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen, inverse Elemente, kommutative Gruppe, Menge verknüpfen, neutrale Element, Verknüpfungstabelle
 
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Folgende Aufgabe: Wir betrachten eine vierelementige Menge auf der eine Verknüpfung 'Stern' definiert ist, sodass (M,Stern) eine Gruppe ist. sei das neutrale Element. Alle Elemente sind zu sich selbst invers. Können Sie mit diesen Informaionen die Verknüpfungstabelle vollständig ausfüllen, oder gibt es mehrere Möglichkeiten? Ist/Sind die Gruppe(n), die Sie erhalten, kommutativ? Hab die Tabelle jetzt soweit ausgefüllt: ?| ? ?| ? ?| ?| (Hoffe, man erkennt es. In der Vorschau sieht es komisch aus.) Weiter kann ich die Tabelle doch nicht ausfüllen, oder? Und wie zeige ich jetzt, ob die Gruppen kommutativ sind? Ich kann doch nicht wissen, ob c'stern'b das gleiche wie b'stern'c ist, oder? Könnt ihr mir helfen? Das wäre wirklich großartig!! Danke schon mal! |
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Hi, betrachte z.B. die Verknüpfung und probier alle Möglichkeiten durch: Widerspruch Widerspruch (soweit auch klar, denn Rechts-/Linkstranslationen sind bei endlichen Gruppen bijektiv) Widerspruch bleibt also nur: usw. Du kannst die Tabelle also doch weiter ausfüllen, wenn du damit fertig bist, müsste man mal weitersehen ;-) Lieben Gruß Sina |
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Hallo, es ist doch auffällig, dass auf der Diagonalen in der Tabelle stets das neutrale Element steht, d.h. es gilt für alle Element : Habt ihr nicht da was drüber gelernt oder in der Übung gehabt? (Zur Kommutativität der Gruppe!?) Mit diesem Wissen braucht man auch gar nicht mehr zu probieren, denn es gibt dann tatsächlich nur zwei Gruppen mit vier Elementen und dieser Eigenschaft. Bedenkt man noch, dass kein Element die Ordnung 4 hat, schließt sich eine aus. Voilà, es gibt nur eine Gruppe mit den Informationen! Mfg Michael |
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@michaL das stimmt schon, aber leider steht in der Aufgabenstellung, dass die Verknüpfungstabelle ausgefüllt werden soll ;-) |
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Hallo, ja, ich weiß. Und, zum Ausfüllen: das geht doch mit den Infos einfacher. Mfg Michael |
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Viele Dank ihr beiden. Den Beweis mit x² als kommutative Gruppe haben wir als freiwillige Übung. Die werde ich dann jetzt doch mal machen. Ihr habt mir sehr geholfen, danke! |
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