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Verknüpfungstabelle einer Gruppe
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen, Verknüpfungstafel, Verknüpfungtabelle
 
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Mir sind zwei Fragen noch nicht klar und zwar: Wie stellt man eine Verknüpfungstabelle bzw. -tafel einer Gruppe auf? Und was sagt diese aus? Beispielaufgabe: Sei (H,°) eine Gruppe und dabei eine Menge mit drei voneinander verschiedenen Elementen. Bestimmen Sie die ° - Verknüpfungstabelle für . Ist abelsch? Bestimmen Sie ferner alle Untergruppen von . Sind diese abelsch? |
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Hallo, nennen wir die drei verschiedenen Elemente , und . Eines davon muss das neutrale Element der Gruppe sein. Grundsätzlich ist es egal, wie es heißt, daher kann ich es auch nennen. Damit weiß ich schon einmal von den 9 Einträgen der Tabelle (jedes Element mit jedem Element verknüpfen) schon 5: und für alle (dabei ist in beiden "Aufzählungen" gezählt und daher doppelt). Jetzt kann man sich fragen, ob oder gelten kann. Bedenke, dass bei einer Verknüpfungstafel einer Gruppe jedes Element in jeder Zeile bzw. Spalte genau einmal vorkommen muss. Wir sind bisher so weit: °|a|b|c a|a|b|c b|b|?|? c|c|?|? Ist , so muss sein, was dazu führt, dass in der letzten Spalte doppelt vorkommt. Deshalb muss also und gelten. Überlege, wie dann die letzte Zeile aussehen muss. Wie würde sich Kommutativität in der Tabelle zeigen? Mfg Michael |
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Erstmals vielen Dank für die hilfreiche Erläuterung Sie hat mir sehr geholfen und ich habe es verstanden. In der letzten Zeile müsste ° rauskommen. Die Kommutativität lässt sich dann aus der Tabelle folgend zeigen: a ° ° oder anhand ° ° Aber nun hätte ich eine andere Frage. Warum soll jedes Element jeweils nur einmal für jede Zeile und Spalte vorkommen? Gibt es dazu eine Erklärung oder soll man das einfach so hinnehmen? Viele Grüße Monika. |
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Hallo, > In der letzten Zeile müsste c ° c=b rauskommen. Korrekt. > Die Kommutativität lässt sich dann aus der Tabelle folgend zeigen: [...] Nun, das ist eigentlich dann nicht mehr direkt die Tabelle. Die Tabelle wäre dann symmetrisch in der Weise, dass das Element in Zeile , Spalte das gleiche sein müsste wie in Zeile , Spalte . > Warum soll jedes Element jeweils nur einmal für jede Zeile und Spalte vorkommen? Dir fehlt der Übersetzungsmechanismus zwischen Mathematik und Tabelle! Nehmen wir an, in einer Zeile (der von ) komme bei und bei (was immer das für Elemente sein mögen) das gleiche Produkt vor, d.h. es gelte . Wie lässt sich daraus schließen? Mfg Michael |
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